Calcolo Esempi

$f (x) = (2 x - 1) (x + 4)$ , $(1, 5)$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[1, 5]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} (2 x - 1) (x + 4) d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x (x + 4) - 1 (x + 4) d x)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4) d x)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.4

Sposta $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.8

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Passaggio 5.10

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 4 d x)$

Passaggio 5.11

Sottrai $1 x$ da $8 x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 7 x - 4 d x)$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 \int_{1}^{5} x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 10

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $5$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Passaggio 14.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $5$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Passaggio 14.3

Calcola $- 4 x$ per $5$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125 - 1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.4

Sottrai $1$ da $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{124}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.5

$2$ e $\frac{124}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{2 \cdot 124}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.6

Moltiplica $2$ per $124$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.7

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25 - 1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.10

Sottrai $1$ da $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{24}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.11

Elimina il fattore comune di $24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.11.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{12}{1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.11.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.12

Moltiplica $7$ per $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.13

Per scrivere $84$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 \cdot \frac{3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.14

$84$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + \frac{84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.16.1

Moltiplica $84$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 252}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.16.2

Somma $248$ e $252$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.17

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4 \cdot 1)$

Passaggio 14.4.18

Moltiplica $4$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4)$

Passaggio 14.4.19

Somma $- 20$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16)$

Passaggio 14.4.20

Per scrivere $- 16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 14.4.21

$- 16$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3})$

Passaggio 14.4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 16 \cdot 3}{3})$

Passaggio 14.4.23

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.23.1

Moltiplica $- 16$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 48}{3})$

Passaggio 14.4.23.2

Sottrai $48$ da $500$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{452}{3})$

Passaggio 15

Sottrai $1$ da $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{452}{3}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Scomponi $4$ da $452$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (113)}{3}$

Passaggio 16.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 113}{3}$

Passaggio 16.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{113}{3}$

Passaggio 17