Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[2, 4]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{8}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[2, 4]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

Passaggio 5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- x^{- 1}$ per $4$ e per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

Passaggio 8.2.3

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Passaggio 8.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 8.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

Passaggio 8.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

Passaggio 8.2.6

Somma $- 1$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

Passaggio 8.2.7

$8$ e $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

Passaggio 8.2.8

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

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Passaggio 8.2.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

Passaggio 8.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.8.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

Passaggio 8.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

Passaggio 8.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

Passaggio 8.2.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

Passaggio 9

Sottrai $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 10.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1$

Passaggio 11