Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ , $[- 3, 3]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[- 3, 3]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{x^{2} + 9}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 1.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 1.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 1.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} \frac{4}{x^{2} + 9} d x)$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Riordina $x^{2}$ e $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}))$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{- 3}^{3}))$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ per $3$ e per $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Passaggio 8.2.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Passaggio 8.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3})}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{3}))$

Passaggio 8.2.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (- 1)}{3}))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{3}))$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{3}))$

Passaggio 9.2.2

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{3}))$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π + π}{4}}{3}))$

Passaggio 9.4

Somma $π$ e $π$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{4}}{3}))$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 9.5.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{3}))$

Passaggio 9.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

Passaggio 9.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

Passaggio 9.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{2}}{3}))$

Passaggio 9.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}))$

Passaggio 9.7

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 9.7.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 9.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 9.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (2) (\frac{π}{6}))$

Passaggio 9.8.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Passaggio 9.8.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Passaggio 9.8.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 9.9

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 10

Somma $3$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 11.2

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 11.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{3}$

Passaggio 12

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{3}$ .

$A (x) = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Passaggio 13

Moltiplica $3$ per $3$ .

$A (x) = \frac{π}{9}$

Passaggio 14