Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[2, 4]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[2, 4]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

Passaggio 7

Moltiplica $(x + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

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Passaggio 8.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Passaggio 10

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

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Passaggio 12.1

$\ln (| x |)]_{2}^{4}$ e $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 12.2.1

Calcola $\ln (| x |) - x^{- 1}$ per $4$ e per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

Passaggio 12.2.2.3

Per scrivere $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

Passaggio 12.2.2.4

$- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Passaggio 12.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Passaggio 12.2.2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.3

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.1.4.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.1.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.4.3.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Passaggio 13.1.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

Passaggio 13.1.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

Passaggio 13.1.4.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

Passaggio 13.1.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Passaggio 13.2

Per scrivere $2 \ln (2)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Passaggio 13.3

$2 \ln (2)$ e $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Passaggio 13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Passaggio 13.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 13.5.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Passaggio 13.5.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

Passaggio 13.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

Passaggio 13.7

Sottrai $4 \ln (2)$ da $8 \ln (2)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

Passaggio 14

Sottrai $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1

Semplifica $4 \ln (2)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

Passaggio 15.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

Passaggio 16

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 17

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (16)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 18

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 19

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 19.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 19.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 19.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 19.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 19.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Passaggio 19.4

Calcola l'esponente.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Passaggio 20