Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[1, 3]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[1, 3]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

Passaggio 7

Moltiplica $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8.2

Semplifica $x^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$x]_{1}^{3}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $x - x^{- 1}$ per $3$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.3

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.5.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Passaggio 12.2.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

Passaggio 12.2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

Passaggio 12.2.2.8

Sottrai $1$ da $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

Passaggio 12.2.2.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

Passaggio 12.2.2.10

Somma $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

Passaggio 12.2.2.11

$4$ e $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

Passaggio 12.2.2.12

Moltiplica $4$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

Passaggio 13

Sottrai $1$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{16}{3}$

Passaggio 15