Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7$ , $(0, 4)$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7 d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 9

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $4$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Passaggio 13.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $4$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Passaggio 13.3

Calcola $- 7 x$ per $4$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $256$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $4$ da $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.2.2.4

Dividi $64$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.4.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 + 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.6

Somma $64$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \cdot 64 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.7

Moltiplica $2$ per $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.8

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} + 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.12

Somma $\frac{64}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.13

$12$ e $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{12 \cdot 64}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.14

Moltiplica $12$ per $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{768}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.15

Elimina il fattore comune di $768$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.15.1

Scomponi $3$ da $768$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.15.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 (1)} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{256}{1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.15.2.4

Dividi $256$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 256 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.16

Somma $128$ e $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.17

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 7 \cdot 0)$

Passaggio 13.4.18

Moltiplica $7$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 0)$

Passaggio 13.4.19

Somma $- 28$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28)$

Passaggio 13.4.20

Sottrai $28$ da $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (356)$

Passaggio 14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 356$

Passaggio 14.2

Somma $4$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 356$

Passaggio 15

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $4$ da $356$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (89))$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 89)$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 89$

Passaggio 16