Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[- 2, 2]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 1.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 1.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 5

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $15$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 6

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Passaggio 6.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Passaggio 6.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\ln (| u |)$ per $5$ e per $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $\ln (| 5 |)$ da $\ln (| 5 |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $\frac{15}{2}$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

Passaggio 12

Somma $2$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 13

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$A (x) = 0$

Passaggio 14