Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 9]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{10}{x + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 9]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Passaggio 5

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 6

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Passaggio 6.5

Somma $9$ e $1$ .

$u_{upper} = 10$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Passaggio 8

Calcola $\ln (| u |)$ per $10$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Passaggio 9

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $10$ è $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Passaggio 10.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Passaggio 10.3

Dividi $10$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Passaggio 11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Passaggio 11.2

Somma $9$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Passaggio 12

Semplifica $10 \ln (10)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Passaggio 13

Eleva $10$ alla potenza di $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Passaggio 14

Semplifica $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ spostando $\frac{1}{9}$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Passaggio 15