Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[2, 4]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[2, 4]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Passaggio 5.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Passaggio 5.5

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Passaggio 7

Calcola $\ln (| u |)$ per $3$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

Passaggio 9.3

Dividi $3$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

Passaggio 10

Sottrai $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 12