Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[4, 6]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[4, 6]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[4, 6]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\int_{4}^{6} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| x |)]_{4}^{6})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $6$ e per $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |))$

Passaggio 6.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}))$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{| 4 |}))$

Passaggio 6.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{4}))$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

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Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 (3)}{4}))$

Passaggio 6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{3}{2}))$

Passaggio 7

Sottrai $4$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 8

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \ln (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 10