Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 3]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 + x \geq 0$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 1.3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x}$ come ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Semplifica.

$1 + x = 0^{2}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 1.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > - 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > - 1}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 3]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 5.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Passaggio 5.5

Somma $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Passaggio 6.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Passaggio 6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.4

Calcola l'esponente.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Passaggio 8.2.8

Sottrai $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Passaggio 9.2

Somma $3$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Passaggio 10

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Passaggio 11