Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 5]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 6}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 6}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 5]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = x - 6$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x - 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Passaggio 5.3

Sottrai $6$ da $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Passaggio 5.5

Sottrai $6$ da $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $- 1$ e per $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Passaggio 8.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Passaggio 8.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Passaggio 8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Passaggio 8.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Passaggio 8.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Passaggio 8.2.9

Sottrai $1$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Passaggio 9.2

Somma $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Passaggio 10.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Passaggio 11