Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 2$ .

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

$4$ e $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2} + 16 x$ .

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Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5.2

Scomponi $4 x$ da $16 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.4.5.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x) + 4 x (4)$ .

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x (x + 4) = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.3

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ con $x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $(0) + 2$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4 {(0)}^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Passaggio 3.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Passaggio 3.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Passaggio 3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ con $x = - 4$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $(- 4) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4 {(- 4)}^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 2 + 2 (1)$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Passaggio 4.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Passaggio 4.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.4

Dividi $32$ per $- 1$ .

$f (- 4) = - 32$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 32$ .

$- 32$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ sono $y = 0, y = - 32$ .

$y = 0, y = - 32$

Passaggio 6