Calcolo Esempi

$\int \frac{5}{e^{5 x}} - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{5}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Nega l'esponente di $e^{5 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$5 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$5 \int 1 e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $e^{- 5 x}$ per $1$ .

$5 \int e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - 5 x$ . Allora $d u = - 5 d x$ , quindi $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = - 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 5.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{5}$ e $- 5$ .

$\frac{- 5}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $5$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 9.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (e^{u} + C) - \int \frac{2}{5 x} d x$

Passaggio 12

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{5}$ fuori dall'integrale.

$- (e^{u} + C) - (\frac{2}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (e^{u} + C) - \frac{2}{5} (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$- e^{u} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 5 x$ .

$- e^{- 5 x} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$