Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 x + 4 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.3

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6$

Passaggio 1.5

Somma $2 x + 4 y$ e $0$ .

$2 x + 4 y - 6$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 4 y - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x + 4 y - 6 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 x + 4 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6$

Passaggio 4.1.5

Somma $2 x + 4 y$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 4 y - 6$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + 4 y - 6$ .

$2 x + 4 y - 6$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + 4 y - 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x + 4 y - 6 = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 6 = - 4 y$

Passaggio 5.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 4 y + 6$

Passaggio 5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 4 y + 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 4 y + 6$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 y$ .

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2 (1)} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2 y}{1} + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.4

Dividi $- 2 y$ per $1$ .

$x = - 2 y + \frac{6}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Dividi $6$ per $2$ .

$x = - 2 y + 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2 y + 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2 y + 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2$

Passaggio 9

$x = - 2 y + 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2 y + 3$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = - 2 y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 y + 3$ nell'espressione.

$f (- 2 y + 3) = {(- 2 y + 3)}^{2} + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Riscrivi ${(- 2 y + 3)}^{2}$ come $(- 2 y + 3) (- 2 y + 3)$ .

$f (- 2 y + 3) = (- 2 y + 3) (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.2

Espandi $(- 2 y + 3) (- 2 y + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y + 3) + 3 (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 9 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.3.2

Sottrai $6 y$ da $- 6 y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (4 (- 2 y) + 4 \cdot 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (- 8 y + 4 \cdot 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (- 8 y + 12) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y \cdot y + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.8

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.8.1

Sposta $y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 (y \cdot y) + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.8.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

Passaggio 10.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y) - 6 \cdot 3$

Passaggio 10.2.1.10

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 6 \cdot 3$

Passaggio 10.2.1.11

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 18$

Passaggio 10.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Combina i termini opposti in $4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Somma $- 12 y$ e $12 y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} + 9 - 8 y^{2} + 0 + y^{2} + 12 y - 18$

Passaggio 10.2.2.1.2

Somma $4 y^{2} + 9 - 8 y^{2}$ e $0$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} + 9 - 8 y^{2} + y^{2} + 12 y - 18$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $8 y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$f (- 2 y + 3) = - 4 y^{2} + 9 + y^{2} + 12 y - 18$

Passaggio 10.2.2.3

Somma $- 4 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$f (- 2 y + 3) = - 3 y^{2} + 9 + 12 y - 18$

Passaggio 10.2.2.4

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (- 2 y + 3) = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

$y = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ .

$(- 2 y + 3, - 3 y^{2} + 12 y - 9)$ è un minimo locale

Passaggio 12