Calcolo Esempi

$\int x - 2 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Passaggio 8

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 10.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + 1 (\frac{1}{2}) \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$