Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{4}{7}} (\frac{11}{4} + x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{7}}$ e $g (x) = \frac{11}{4} + x$ .

$x^{\frac{4}{7}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{4} + x] + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{11}{4} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{11}{4}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{7}} (\frac{d}{d x} [\frac{11}{4}] + \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $\frac{11}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{11}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{4}{7}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{7}} \frac{d}{d x} [x] + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{7}} \cdot 1 + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $x^{\frac{4}{7}}$ per $1$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1})$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}})$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}})$

Passaggio 1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}})$

Passaggio 1.8

$\frac{4}{7}$ e $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) \frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$

Passaggio 1.9

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{4} \cdot \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $\frac{11}{4}$ per $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11 \cdot 4}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $11$ per $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{44}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.3

Moltiplica $7$ per $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{44}{28 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.4

Scomponi $4$ da $44$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (11)}{28 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.5.1

Scomponi $4$ da $28 x^{\frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (11)}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 \cdot 11}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.6

$x$ e $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{x \cdot 4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.7

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 \cdot x}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.8

Sposta $x^{\frac{3}{7}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{3}{7}}}{7}$

Passaggio 1.10.2.9

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{3}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.9.1

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x)}{7}$

Passaggio 1.10.2.9.2

Moltiplica $x^{- \frac{3}{7}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x^{1})}{7}$

Passaggio 1.10.2.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + 1}}{7}$

Passaggio 1.10.2.9.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + \frac{7}{7}}}{7}$

Passaggio 1.10.2.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{\frac{- 3 + 7}{7}}}{7}$

Passaggio 1.10.2.9.5

Somma $- 3$ e $7$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7}$

Passaggio 1.10.2.10

Per scrivere $x^{\frac{4}{7}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.11

$x^{\frac{4}{7}}$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7 + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.13

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{\frac{4}{7}}$ .

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{7}} + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 1.10.2.14

Somma $7 x^{\frac{4}{7}}$ e $4 x^{\frac{4}{7}}$ .

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7}] + \frac{d}{d x} [\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{11}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{11}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}}) + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.8

$\frac{4}{7}$ e $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{11}{7} \cdot \frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7} + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $\frac{11}{7}$ per $\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{11 (4 x^{- \frac{3}{7}})}{7 \cdot 7} + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $4$ per $11$ .

$f'' (x) = \frac{44 x^{- \frac{3}{7}}}{7 \cdot 7} + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{44 x^{- \frac{3}{7}}}{49} + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.2.12

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{d}{d x} (\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{11}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{11}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}$ come ${(x^{\frac{3}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{7}})}^{- 1})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{7}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- {(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- {(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{7}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{\frac{3}{7} \cdot - 2} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $\frac{3}{7} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

$\frac{3}{7}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{\frac{3 \cdot - 2}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{\frac{- 6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $7$ da $3$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{3}{7}$ e $x^{- \frac{4}{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- x^{- \frac{6}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ e $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{4}{7}} x^{- \frac{6}{7}}}{7})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{4}{7}}$ per $x^{- \frac{6}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3 (x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{4}{7}})}{7})$

Passaggio 2.3.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{6}{7} - \frac{4}{7}}}{7})$

Passaggio 2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 4}{7}}}{7})$

Passaggio 2.3.13.4

Sottrai $4$ da $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 10}{7}}}{7})$

Passaggio 2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{10}{7}}}{7})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{10}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{11}{7} \cdot (- \frac{3}{7 x^{\frac{10}{7}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $\frac{11}{7}$ per $\frac{3}{7 x^{\frac{10}{7}}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{11 \cdot 3}{7 (7 x^{\frac{10}{7}})}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $11$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{33}{7 (7 x^{\frac{10}{7}})}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{44}{49 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{33}{49 x^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$x^{\frac{4}{7}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{4} + x] + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{11}{4} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{11}{4}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{7}} (\frac{d}{d x} [\frac{11}{4}] + \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $\frac{11}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{11}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{4}{7}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{7}} \frac{d}{d x} [x] + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{7}} \cdot 1 + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $x^{\frac{4}{7}}$ per $1$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1})$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}})$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}})$

Passaggio 4.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}})$

Passaggio 4.1.8

$\frac{4}{7}$ e $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) \frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$

Passaggio 4.1.9

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (\frac{11}{4} + x) \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{4} \cdot \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.1

Moltiplica $\frac{11}{4}$ per $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11 \cdot 4}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.2

Moltiplica $11$ per $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{44}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.3

Moltiplica $7$ per $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{44}{28 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.4

Scomponi $4$ da $44$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (11)}{28 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.5.1

Scomponi $4$ da $28 x^{\frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (11)}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 \cdot 11}{4 (7 x^{\frac{3}{7}})} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.6

$x$ e $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{x \cdot 4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.7

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 \cdot x}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.8

Sposta $x^{\frac{3}{7}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{3}{7}}}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.9

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{3}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.9.1

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x)}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.9.2

Moltiplica $x^{- \frac{3}{7}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.2.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x^{1})}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + 1}}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.9.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + \frac{7}{7}}}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{\frac{- 3 + 7}{7}}}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.9.5

Somma $- 3$ e $7$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7}$

Passaggio 4.1.10.2.10

Per scrivere $x^{\frac{4}{7}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.11

$x^{\frac{4}{7}}$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7 + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.13

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{\frac{4}{7}}$ .

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{7}} + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.1.10.2.14

Somma $7 x^{\frac{4}{7}}$ e $4 x^{\frac{4}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$7, 7 x^{\frac{3}{7}}, 1$

Passaggio 5.2.2

Poiché $7, 7 x^{\frac{3}{7}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $7, 7, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{3}{7}}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Poiché $7$ non presenta fattori eccetto $1$ e $7$ .

$7$ è un numero primo

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $7, 7, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$7$

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{3}{7}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo di $7, 7 x^{\frac{3}{7}}, 1$ è la parte numerica $7$ moltiplicata per la parte variabile.

$7 x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $7 x^{\frac{3}{7}}$ ciascun termine in $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} = 0$ per $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} (7 x^{\frac{3}{7}}) + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$7 \frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} x^{\frac{3}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} x^{\frac{3}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$11 x^{\frac{4}{7}} x^{\frac{3}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{4}{7}}$ per $x^{\frac{3}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{3}{7}}$ .

$11 (x^{\frac{3}{7}} x^{\frac{4}{7}}) + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$11 x^{\frac{3}{7} + \frac{4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$11 x^{\frac{3 + 4}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.4

Somma $3$ e $4$ .

$11 x^{\frac{7}{7}} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.5

Dividi $7$ per $7$ .

$11 x^{1} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Semplifica $11 x^{1}$ .

$11 x + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$11 x + 7 \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$11 x + 7 \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$11 x + \frac{11}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$11 x + \frac{11}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$11 x + 11 = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0 (7 x^{\frac{3}{7}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$11 x + 11 = 0 x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{3}{7}}$ .

$11 x + 11 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$11 x = - 11$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $11$ ciascun termine in $11 x = - 11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 11}{11}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 11}{11}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 11}{11}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividi $- 11$ per $11$ .

$x = - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{11 \sqrt[7]{x^{4}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{11 \sqrt[7]{x^{4}}}{7} + \frac{11}{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{11}{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$7 \sqrt[7]{x^{3}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $7$ potenza.

${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$823543 {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$823543 x^{3} = 0^{7}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$823543 x^{3} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x^{3} = 0$ .

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $823543$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 6.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $823543$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{44}{49 {(- 1)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{7}$ .

$\frac{44}{49 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{3}{7}}} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{44}{49 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.1.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{44}{49 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{44}{49 {(- 1)}^{3}} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{44}{49 \cdot - 1} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $49$ per $- 1$ .

$\frac{44}{- 49} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{7}$ .

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 9.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{7 (\frac{10}{7})}}$

Passaggio 9.1.4.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{7 (\frac{10}{7})}}$

Passaggio 9.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49 {(- 1)}^{10}}$

Passaggio 9.1.4.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $10$ .

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $49$ per $1$ .

$- \frac{44}{49} - \frac{33}{49}$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 44 - 33}{49}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $33$ da $- 44$ .

$\frac{- 77}{49}$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $- 77$ e $49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $7$ da $- 77$ .

$\frac{7 (- 11)}{49}$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $7$ da $49$ .

$\frac{7 \cdot - 11}{7 \cdot 7}$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot - 11}{7 \cdot 7}$

Passaggio 9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 11}{7}$

Passaggio 9.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{7}$

Passaggio 10

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{4}{7}} (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{4}{7}} (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{7})}^{\frac{4}{7}} (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{7 (\frac{4}{7})} (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = {(- 1)}^{7 (\frac{4}{7})} (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 1 (\frac{11}{4} - 1)$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $\frac{11}{4} - 1$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{11}{4} - 1$

Passaggio 11.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.5

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Passaggio 11.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{11 - 1 \cdot 4}{4}$

Passaggio 11.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 1) = \frac{11 - 4}{4}$

Passaggio 11.2.7.2

Sottrai $4$ da $11$ .

$f (- 1) = \frac{7}{4}$

Passaggio 11.2.8

La risposta finale è $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{44}{49 {(0)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{7}$ .

$\frac{44}{49 {(0^{7})}^{\frac{3}{7}}} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{44}{49 \cdot 0^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{44}{49 \cdot 0^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{44}{49 \cdot 0^{3}} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{44}{49 \cdot 0} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $49$ per $0$ .

$\frac{44}{0} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{44}{0} - \frac{33}{49 {(0)}^{\frac{10}{7}}}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \frac{11 {(- 4)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(- 4)}^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.2.2

La risposta finale è $\frac{11 {(- 4)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(- 4)}^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{11 {(- 4)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(- 4)}^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = \frac{11 {(- 0.5)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(- 0.5)}^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.3.2

La risposta finale è $\frac{11 {(- 0.5)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(- 0.5)}^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{11 {(- 0.5)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(- 0.5)}^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{11 {(2)}^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 {(2)}^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (2) = \frac{11 \cdot 2^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 \cdot 2^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.4.2.2

La risposta finale è $\frac{11 \cdot 2^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 \cdot 2^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{11 \cdot 2^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{11}{7 \cdot 2^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 14.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un massimo locale.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{\frac{4}{7}} (\frac{11}{4} + x)$ .

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 15