Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $5$ da $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 1.3.9

$- 6$ e $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 1.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 1.4

$\frac{9}{5}$ e $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{9}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.8

$\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $\frac{9}{5}$ per $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $4$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.12

Sposta $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{24}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{24}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ come ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

$\frac{1}{5}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{4}{5}}$ per $x^{- \frac{2}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{6}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + 1 (\frac{24}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $\frac{24}{5}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $\frac{24}{5}$ per $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.2.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $5$ da $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.6.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Passaggio 4.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 4.1.3.9

$- 6$ e $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 4.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 4.1.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 4.1.4

$\frac{9}{5}$ e $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Passaggio 5.2.2

Poiché $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $5, 5, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{1}{5}}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Poiché $5$ non presenta fattori eccetto $1$ e $5$ .

$5$ è un numero primo

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $5, 5, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$5$

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{5}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo di $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ è la parte numerica $5$ moltiplicata per la parte variabile.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $5 x^{\frac{1}{5}}$ ciascun termine in $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ per $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{4}{5}}$ per $x^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 x^{\frac{1 + 4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.4

Somma $1$ e $4$ .

$9 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.5

Dividi $5$ per $5$ .

$9 x^{1} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Semplifica $9 x^{1}$ .

$9 x - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ nel numeratore.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$9 x - 24 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$9 x - 24 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 x - 24 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Somma $24$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 24$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 24$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{24}{9}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $24$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{9}$

Passaggio 5.4.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{8}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.4

Semplifica.

$3125 x = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3125 x = 0$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x = 0$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Dividi $0$ per $3125$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{8}{3}, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{8}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{36}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36}{25 \frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.1.2

$25$ e $\frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$36 \frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.1.4

$36$ e $\frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 \frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Passaggio 9.1.6

$25$ e $\frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + 24 \frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.1.8

$24$ e $\frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ per $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $8^{\frac{1}{5}}$ per $8^{\frac{5}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Sposta $8^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (8^{\frac{5}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}})} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5 + 1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.3.2.4

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{1} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Calcola l'esponente.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8 + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $8$ per $36$ .

$\frac{288 \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 10

$x = \frac{8}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{8}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{8}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{8}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{\frac{9}{5}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 \frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 11.2.1.3

$- 6$ e $\frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} + \frac{- 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 11.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3^{\frac{9}{5}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ per $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $3^{\frac{4}{5}}$ per $3^{\frac{5}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}$

Passaggio 11.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4 + 5}{5}}}$

Passaggio 11.2.3.2.3

Somma $4$ e $5$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 11.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 11.2.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 11.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3}{3^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$ .

$y = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{36}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$\frac{36}{25 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{1}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13.3

Calcola l'esponente.

$\frac{36}{25 \cdot 0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $25$ per $0$ .

$\frac{36}{0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.2.2

La risposta finale è $\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \frac{8}{3})$ nella derivata prima $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{9 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{9 \cdot 1}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.1.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 \cdot 1}$

Passaggio 14.3.2.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5}$

Passaggio 14.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (1) = \frac{9 - 24}{5}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.2.1

Sottrai $24$ da $9$ .

$f' (1) = \frac{- 15}{5}$

Passaggio 14.3.2.2.2.2

Dividi $- 15$ per $5$ .

$f' (1) = - 3$

Passaggio 14.3.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(\frac{8}{3}, \infty)$ nella derivata prima $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{9 {(5)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Sposta ${(5)}^{\frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.2

Moltiplica $5$ per $5^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.2.1

Moltiplica $5$ per $5^{- \frac{4}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (5) = \frac{9}{5^{1 - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5 - 4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.4

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.3

Moltiplica $5$ per ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.3.1

Moltiplica $5$ per ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{1 + \frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.1.3.4

Somma $5$ e $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.2

Per scrivere $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $5^{\frac{6}{5}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ per $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3.2

Moltiplica $5^{\frac{1}{5}}$ per $5^{\frac{5}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5} + \frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1 + 5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3.2.3

Somma $1$ e $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}} - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.5.1

Dividi $5$ per $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.5.2

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.5.3

Moltiplica $9$ per $5$ .

$f' (5) = \frac{45 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.5.4

Sottrai $24$ da $45$ .

$f' (5) = \frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.6

La risposta finale è $\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 14.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{8}{3}$ , allora $x = \frac{8}{3}$ è un minimo locale.

$x = \frac{8}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{8}{3}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{8}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 15