Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{8}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 1.6

$\frac{8}{3}$ e $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2.7

$\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.9

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $5$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 4.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Passaggio 4.1.5.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 4.1.6

$\frac{8}{3}$ e $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Dividi $x^{\frac{5}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{5}{3}} = \frac{0}{8}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $8$ .

$x^{\frac{5}{3}} = 0$

Passaggio 5.3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{5}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Semplifica $0^{\frac{3}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 5.3.3.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 0^{3}$

Passaggio 5.3.3.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{40 {(0)}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{40 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Passaggio 9.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{40 \cdot 0^{2}}{9}$

Passaggio 9.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{40 \cdot 0}{9}$

Passaggio 9.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $40$ per $0$ .

$\frac{0}{9}$

Passaggio 9.2.2

Dividi $0$ per $9$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.2.2

La risposta finale è $\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{8 {(2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = \frac{2^{3 + \frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.4

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3 + 5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{9 + 5}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.1.6.2

Somma $9$ e $5$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Passaggio 10.3.2.2

La risposta finale è $\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Passaggio 10.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11