Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{- 0.5 x} - 10$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{- 0.5 x} - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 0.5 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}] + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 0.5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x]) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 0.5 x$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5) + e^{- 0.5 x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.2.7

Sposta $- 0.5$ alla sinistra di $e^{- 0.5 x}$ .

$x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 1.3

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x) + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Somma $x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)$ e $0$ .

$x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$- 0.5 e^{- 0.5 x} x^{2} + 2 e^{- 0.5 x} x$

Passaggio 1.4.3

Riordina i fattori in $- 0.5 e^{- 0.5 x} x^{2} + 2 e^{- 0.5 x} x$ .

$- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- 0.5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x}$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}]$ .

$f'' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 0.5 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 0.5 x$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 0.5 x$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $- 0.5$ alla sinistra di $e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{- 0.5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{- 0.5 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{- 0.5 x}]$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 0.5 x$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 0.5 x$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5) + e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.8

Sposta $- 0.5$ alla sinistra di $e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $e^{- 0.5 x}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x})) - 0.5 (e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x})$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 0.5 (x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x})) - 0.5 (e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (- 0.5 e^{- 0.5 x})) + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 0.5$ per $- 0.5$ .

$f'' (x) = 0.25 (x^{2} (e^{- 0.5 x})) - 0.5 (e^{- 0.5 x} (2 x)) + 2 (x (- 0.5 e^{- 0.5 x})) + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 0.5$ .

$f'' (x) = 0.25 x^{2} e^{- 0.5 x} - (e^{- 0.5 x} (x)) + 2 (x (- 0.5 e^{- 0.5 x})) + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $- 0.5$ per $2$ .

$f'' (x) = 0.25 x^{2} e^{- 0.5 x} - e^{- 0.5 x} x - (x (e^{- 0.5 x})) + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.3.4

Sottrai $x e^{- 0.5 x}$ da $- e^{- 0.5 x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Sposta $e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = 0.25 x^{2} e^{- 0.5 x} - x e^{- 0.5 x} - x e^{- 0.5 x} + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.3.4.2

Sottrai $x e^{- 0.5 x}$ da $- x e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = 0.25 x^{2} e^{- 0.5 x} - 2 x e^{- 0.5 x} + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 0.25 e^{- 0.5 x} x^{2} - 2 e^{- 0.5 x} x + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $0.25 e^{- 0.5 x} x^{2} - 2 e^{- 0.5 x} x + 2 e^{- 0.5 x}$ .

$f'' (x) = 0.25 x^{2} e^{- 0.5 x} - 2 x e^{- 0.5 x} + 2 e^{- 0.5 x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{- 0.5 x} - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 0.5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 0.5 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}] + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 0.5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x]) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 0.5 x$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.5 x$ rispetto a $x$ è $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1)) + e^{- 0.5 x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 0.5$ per $1$ .

$x^{2} (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5) + e^{- 0.5 x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta $- 0.5$ alla sinistra di $e^{- 0.5 x}$ .

$x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x) + 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Somma $x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)$ e $0$ .

$x^{2} (- 0.5 e^{- 0.5 x}) + e^{- 0.5 x} (2 x)$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i termini.

$- 0.5 e^{- 0.5 x} x^{2} + 2 e^{- 0.5 x} x$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i fattori in $- 0.5 e^{- 0.5 x} x^{2} + 2 e^{- 0.5 x} x$ .

$f' (x) = - 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x}$ .

$- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $0.5 x e^{- 0.5 x}$ da $- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x} + 2 x e^{- 0.5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $0.5 x e^{- 0.5 x}$ da $- 0.5 x^{2} e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 x e^{- 0.5 x} (- x) + 2 x e^{- 0.5 x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $0.5 x e^{- 0.5 x}$ da $2 x e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 x e^{- 0.5 x} (- x) + 0.5 x e^{- 0.5 x} (4) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $0.5 x e^{- 0.5 x}$ da $0.5 x e^{- 0.5 x} (- x) + 0.5 x e^{- 0.5 x} (4)$ .

$0.5 x e^{- 0.5 x} (- x + 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{- 0.5 x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $e^{- 0.5 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $e^{- 0.5 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 0.5 x} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $e^{- 0.5 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 0.5 x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 0.5 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.6

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $- x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 5.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 5.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $0.5 x e^{- 0.5 x} (- x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$0.25 {(0)}^{2} e^{- 0.5 \cdot 0} - 2 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0.25 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} - 2 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $0.25$ per $0$ .

$0 e^{- 0.5 \cdot 0} - 2 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $0$ .

$0 e^{0} - 2 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 2 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 2 \cdot 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $- 0.5$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $- 0.5$ per $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Passaggio 9.1.11

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 0 + 2$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- 0.5 \cdot 0} - 10$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 0.5 \cdot 0} - 10$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 0.5$ per $0$ .

$f (0) = 0 e^{0} - 10$

Passaggio 11.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1 - 10$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f (0) = 0 - 10$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $10$ da $0$ .

$f (0) = - 10$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$0.25 {(4)}^{2} e^{- 0.5 \cdot 4} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$0.25 \cdot 16 e^{- 0.5 \cdot 4} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $0.25$ per $16$ .

$4 e^{- 0.5 \cdot 4} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $4$ .

$4 e^{- 2} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.5

$4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$\frac{4}{{2.71828182}^{2}} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{7.38905609} - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.8

Dividi $4$ per $7.38905609$ .

$0.54134113 - 2 \cdot 4 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.9

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$0.54134113 - 8 e^{- 0.5 \cdot 4} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $- 0.5$ per $4$ .

$0.54134113 - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.54134113 - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.12

$- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 0.5 \cdot 4}$

Passaggio 13.1.14

Moltiplica $- 0.5$ per $4$ .

$0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 13.1.15

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 13.1.16

$2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0.54134113 + \frac{- 8 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Somma $- 8$ e $2$ .

$0.54134113 + \frac{- 6}{e^{2}}$

Passaggio 13.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0.54134113 - \frac{6}{e^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $\frac{6}{e^{2}}$ da $0.54134113$ .

$- 0.27067056$

Passaggio 14

$x = 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = {(4)}^{2} e^{- 0.5 \cdot 4} - 10$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 16 e^{- 0.5 \cdot 4} - 10$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 0.5$ per $4$ .

$f (4) = 16 e^{- 2} - 10$

Passaggio 15.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (4) = 16 (\frac{1}{e^{2}}) - 10$

Passaggio 15.2.1.4

$16$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (4) = \frac{16}{e^{2}} - 10$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $\frac{16}{e^{2}} - 10$ .

$y = \frac{16}{e^{2}} - 10$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} e^{- 0.5 x} - 10$ .

$(0, - 10)$ è un minimo locale

$(4, \frac{16}{e^{2}} - 10)$ è un massimo locale

Passaggio 17