Calcolo Esempi

$\sqrt{5 + y^{2}} - x^{3} + 5 = 0$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 + y^{2}}$ come ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5 = 0$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.11

Somma $0$ e $2 y y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.13

$2$ e $\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.14

$y$ e $\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.15

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ e $y'$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.16

Sposta ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y \cdot 2 y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.17

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{2 \cdot y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.18

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.19

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + 0$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Somma $\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune di ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$