Calcolo Esempi

$f (x) = x e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 32 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}] + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 32 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 32 x^{2}$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Sposta $- 64$ alla sinistra di $e^{- 32 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 64 \cdot e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.9

Moltiplica $e^{- 32 x^{2}}$ per $1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Riordina i termini.

$- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Riordina i fattori in $- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$ .

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 32 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 32 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{2} (e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - 64 (x \cdot x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 64 (x \cdot x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 64 (x^{1 + 2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.2.9

Sposta $- 64$ alla sinistra di $e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 32 x^{2}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 32 x^{2})$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 64 (x^{3} (- 64 e^{- 32 x^{2}})) - 64 (e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 64$ per $- 64$ .

$f'' (x) = 4096 (x^{3} (e^{- 32 x^{2}})) - 64 (e^{- 32 x^{2}} (2 x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 64$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 128 (e^{- 32 x^{2}} (x)) + e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)$

Passaggio 2.4.2.3

Sposta $e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 128 x e^{- 32 x^{2}} - 64 x e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 2.4.2.4

Sottrai $64 x e^{- 32 x^{2}}$ da $- 128 x e^{- 32 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 192 x e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4096 e^{- 32 x^{2}} x^{3} - 192 e^{- 32 x^{2}} x$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $4096 e^{- 32 x^{2}} x^{3} - 192 e^{- 32 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4096 x^{3} e^{- 32 x^{2}} - 192 x e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 32 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 32 x^{2}}] + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 32 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 32 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 32 x^{2}$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 32 (2 x))) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$x (e^{- 32 x^{2}} (- 64 x)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 1} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- 32 x^{2}} \cdot (- 64)) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.2

Sposta $- 64$ alla sinistra di $e^{- 32 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 64 \cdot e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $e^{- 32 x^{2}}$ per $1$ .

$x^{2} (- 64 e^{- 32 x^{2}}) + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Riordina i termini.

$- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 4.1.10.2

Riordina i fattori in $- 64 e^{- 32 x^{2}} x^{2} + e^{- 32 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$ .

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{- 32 x^{2}}$ da $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}} + e^{- 32 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $e^{- 32 x^{2}}$ da $- 64 x^{2} e^{- 32 x^{2}}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2}) + e^{- 32 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $e^{- 32 x^{2}}$ da $e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2}) + e^{- 32 x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- 64 x^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $64 x^{2}$ come ${(8 x)}^{2}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (- {(8 x)}^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.4

Riordina $- {(8 x)}^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- 32 x^{2}} (1^{2} - {(8 x)}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 8 x$ .

$e^{- 32 x^{2}} ((1 + 8 x) (1 - (8 x))) = 0$

Passaggio 5.2.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$e^{- 32 x^{2}} ((1 + 8 x) (1 - 8 x)) = 0$

Passaggio 5.2.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- 32 x^{2}} (1 + 8 x) (1 - 8 x) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 32 x^{2}} = 0$

$1 + 8 x = 0$

$1 - 8 x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{- 32 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{- 32 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- 32 x^{2}} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{- 32 x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 32 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 32 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $1 + 8 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $1 + 8 x$ uguale a $0$ .

$1 + 8 x = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $1 + 8 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 1$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{8}$

Passaggio 5.6

Imposta $1 - 8 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $1 - 8 x$ uguale a $0$ .

$1 - 8 x = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $1 - 8 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 x = - 1$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x = - 1$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Passaggio 5.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 8}$

Passaggio 5.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{8}$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- 32 x^{2}} (1 + 8 x) (1 - 8 x) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4096 {(- \frac{1}{8})}^{3} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{8}$ .

$4096 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{8})}^{3}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$4096 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{8^{3}}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4096 (- \frac{1^{3}}{8^{3}}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4096 (- \frac{1}{8^{3}}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$4096 (- \frac{1}{512}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{512}$ nel numeratore.

$4096 (\frac{- 1}{512}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.5.2

Scomponi $512$ da $4096$ .

$512 (8) \frac{- 1}{512} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$512 \cdot 8 \frac{- 1}{512} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot - 1 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{8}$ .

$- 8 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$- 8 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 8 e^{- 32 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$- 8 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 8 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.11

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- 8 e^{- 32 (\frac{1}{64})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.12

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.12.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$- 8 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.12.2

Scomponi $32$ da $64$ .

$- 8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.12.3

Elimina il fattore comune.

$- 8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.12.4

Riscrivi l'espressione.

$- 8 e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.13

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$- 8 e^{- (\frac{1}{2})} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.14

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.15

$- 8$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (- \frac{1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.17

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.17.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (\frac{- 1}{8}) e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.17.2

Scomponi $8$ da $- 192$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 (- 24) \frac{- 1}{8} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.17.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot - 24 \frac{- 1}{8} e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.17.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 \cdot - 1 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.18

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 9.1.19

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})}$

Passaggio 9.1.19.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})}$

Passaggio 9.1.20

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})}$

Passaggio 9.1.21

Moltiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Passaggio 9.1.22

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Passaggio 9.1.23

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Passaggio 9.1.24

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.24.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}}$

Passaggio 9.1.24.2

Scomponi $32$ da $64$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Passaggio 9.1.24.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Passaggio 9.1.24.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 9.1.25

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 9.1.26

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 24 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.27

$24$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 + 24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 8$ e $24$ .

$\frac{16}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

$x = - \frac{1}{8}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{8}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{8}) = (- \frac{1}{8}) \cdot e^{- 32 {(- \frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{8^{2}}))}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 (1 (\frac{1^{2}}{8^{2}}))}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Passaggio 11.2.3

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{32 (- 1) (\frac{1}{64})}$

Passaggio 11.2.3.2

Scomponi $32$ da $64$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Passaggio 11.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Passaggio 11.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.4

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 8}$

Passaggio 11.2.7

Sposta $8$ alla sinistra di $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1}{8}) = - \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.8

La risposta finale è $- \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4096 {(\frac{1}{8})}^{3} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$4096 \frac{1^{3}}{8^{3}} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4096 \frac{1}{8^{3}} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$4096 (\frac{1}{512}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Scomponi $512$ da $4096$ .

$512 (8) \frac{1}{512} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$512 \cdot 8 \frac{1}{512} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$8 e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$8 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.7

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$8 e^{- 32 (\frac{1}{64})} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.8

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$8 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.8.2

Scomponi $32$ da $64$ .

$8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$8 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$8 e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.9

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$8 e^{- (\frac{1}{2})} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.11

$8$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 192 (\frac{1}{8}) e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.12

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.12.1

Scomponi $8$ da $- 192$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 (- 24) \frac{1}{8} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot - 24 \frac{1}{8} e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 13.1.13

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Passaggio 13.1.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Passaggio 13.1.15

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Passaggio 13.1.16

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.16.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{32 (- 1) \frac{1}{64}}$

Passaggio 13.1.16.2

Scomponi $32$ da $64$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Passaggio 13.1.16.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{32 \cdot - 1 \frac{1}{32 \cdot 2}}$

Passaggio 13.1.16.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 13.1.17

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 13.1.18

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - 24 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.1.19

$- 24$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.1.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 - 24}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Sottrai $24$ da $8$ .

$\frac{- 16}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

$x = \frac{1}{8}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{8}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8}) \cdot e^{- 32 {(\frac{1}{8})}^{2}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Passaggio 15.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 \frac{1}{8^{2}}}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 32 (\frac{1}{64})}$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $32$ da $- 32$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{32 (- 1) (\frac{1}{64})}$

Passaggio 15.2.2.2

Scomponi $32$ da $64$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Passaggio 15.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{32 \cdot (- 1 \frac{1}{32 \cdot 2})}$

Passaggio 15.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 15.2.3

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Passaggio 15.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.5

Combina.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1 \cdot 1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $\frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{- 32 x^{2}}$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}})$ è un minimo locale

$(\frac{1}{8}, \frac{1}{8 e^{\frac{1}{2}}})$ è un massimo locale

Passaggio 17