Calcolo Esempi

$f (x) = 1 - {(x + 6)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - {(x + 6)}^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(x + 6)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(x + 6)}^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 6)}^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- {(x + 6)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x + 6)}^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 6$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 6])$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 6])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 6$ .

$0 - (3 {(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 6])$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$0 - (3 {(x + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (3 {(x + 6)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6]))$

Passaggio 1.2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))$

Passaggio 1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$0 - (3 {(x + 6)}^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 - (3 {(x + 6)}^{2})$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 {(x + 6)}^{2}$

Passaggio 1.3

Sottrai $3 {(x + 6)}^{2}$ da $0$ .

$- 3 {(x + 6)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x + 6)}^{2}$ come $(x + 6) (x + 6)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 ((x + 6) (x + 6)))$

Passaggio 2.2

Espandi $(x + 6) (x + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x (x + 6) + 6 (x + 6)))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6))$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6))$

Passaggio 2.3.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6))$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x^{2} + 6 x + 6 x + 36))$

Passaggio 2.3.2

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 (x^{2} + 12 x + 36))$

Passaggio 2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 (x^{2} + 12 x + 36)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 12 x + 36]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 12 x + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.7

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.9

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.10

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x + 12 + 0)$

Passaggio 2.11

Somma $2 x + 12$ e $0$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x + 12)$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 3 (2 x) - 3 \cdot 12$

Passaggio 2.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x - 3 \cdot 12$

Passaggio 2.12.2.2

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$f'' (x) = - 6 x - 36$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 {(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - {(x + 6)}^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(x + 6)}^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- {(x + 6)}^{3})$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(x + 6)}^{3})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- {(x + 6)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x + 6)}^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 6$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 6))$

Passaggio 4.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 6))$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 6$ .

$f' (x) = 0 - (3 {(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 6))$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = 0 - (3 {(x + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)))$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - (3 {(x + 6)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (6)))$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 - (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))$

Passaggio 4.1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 0 - (3 {(x + 6)}^{2} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 0 - (3 {(x + 6)}^{2})$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 3 {(x + 6)}^{2}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $3 {(x + 6)}^{2}$ da $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x + 6)}^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 {(x + 6)}^{2}$ .

$- 3 {(x + 6)}^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 {(x + 6)}^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 {(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 {(x + 6)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 {(x + 6)}^{2} = 0$ .

$\frac{- 3 {(x + 6)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 {(x + 6)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi ${(x + 6)}^{2}$ per $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Poni $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.4

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 6$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot - 6 - 36$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$36 - 36$

Passaggio 9.2

Sottrai $36$ da $36$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 8$ , dall'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata prima $- 3 {(x + 6)}^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f' (- 8) = - 3 {((- 8) + 6)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Somma $- 8$ e $6$ .

$f' (- 8) = - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 8) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (- 8) = - 12$

Passaggio 10.2.2.4

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- 6, \infty)$ nella derivata prima $- 3 {(x + 6)}^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 3 {((0) + 6)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Somma $0$ e $6$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 6^{2}$

Passaggio 10.3.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 36$

Passaggio 10.3.2.3

Moltiplica $- 3$ per $36$ .

$f' (0) = - 108$

Passaggio 10.3.2.4

La risposta finale è $- 108$ .

$- 108$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 6$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 1 - {(x + 6)}^{3}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11