Calcolo Esempi

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $0.3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.3 x^{1.25}$ rispetto a $x$ è $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $1.25$ per $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.5 x$ rispetto a $x$ è $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1.5$ per $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $88.6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $88.6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $0.375 x^{0.25} - 1.5$ e $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.375 x^{0.25} - 1.5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $0.375$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.375 x^{0.25}$ rispetto a $x$ è $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $0.25$ per $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$0.09375$ e $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $0.3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.3 x^{1.25}$ rispetto a $x$ è $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $1.25$ per $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1.5 x$ rispetto a $x$ è $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1.5$ per $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $88.6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $88.6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $0.375 x^{0.25} - 1.5$ e $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $1.5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Passaggio 5.3

Dividi per $0.375$ ciascun termine in $0.375 x^{0.25} = 1.5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $0.375$ ciascun termine in $0.375 x^{0.25} = 1.5$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0.375$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{0.25}$ per $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $1.5$ per $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Passaggio 5.4

Converti l'esponente decimale in un esponente frazionario.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Converti il numero decimale in frazione elevandolo a una potenza di dieci. Poiché vi sono $2$ cifre a destra del separatore decimale, eleva il numero decimale a $10^{2}$ $(100)$ . Quindi aggiungi il numero intero a sinistra del decimale.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Passaggio 5.4.2

Riduci la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Converti $0 \frac{25}{100}$ in una frazione impropria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Un numero misto è una somma della parti intera e della parte frazionaria.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Passaggio 5.4.2.1.2

Somma $0$ e $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $25$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Passaggio 5.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Passaggio 5.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Passaggio 5.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Passaggio 5.5

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{1}{0.25}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $0.25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.2.1

Scomponi $0.25$ da $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.3

Dividi $4$ per $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6.1.1.2

Semplifica.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Dividi $1$ per $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$x = 256$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Cambia $0.25$ in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica per $\frac{100}{100}$ per rimuovere il decimale.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Passaggio 6.1.1.2

Moltiplica $100$ per $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Passaggio 6.1.1.3

Elimina il fattore comune di $25$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Passaggio 6.1.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Scomponi $25$ da $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Passaggio 6.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Passaggio 6.1.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Passaggio 6.2

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 256$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 256$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Eleva $256$ alla potenza di $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Passaggio 9.2

Dividi $0.09375$ per $64$ .

$0.00146484$

Passaggio 10

$x = 256$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 256$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $256$ nell'espressione.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $256$ alla potenza di $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $0.3$ per $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 1.5$ per $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $384$ da $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 76.8$ e $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $11.8$ .

$y = 11.8$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ è un minimo locale

Passaggio 13