Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 24$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 24$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.3.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Riscrivi $- 2$ come $4$ più $- 6$ .

$\frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.9

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x + 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \frac{d}{d x} (x + 6) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $x - 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + 0)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \cdot 1) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8.2

Moltiplica $x + 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + x + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x - 4 + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8.4

Somma $- 4$ e $6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 (x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $x^{2} + 24$ da ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $x^{2} + 24$ da ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x^{2} + 24$ da $- 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $x^{2} + 24$ da $(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 24]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x^{2} + 24$ da ${(x^{2} + 24)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{(x^{2} + 24) {(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $\frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + 0$

Passaggio 2.14.2

Somma $- \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.1

Espandi $(x^{2} + 24) (2 x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 2) + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.2.5

Moltiplica $24$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x + 16) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.4

Espandi $(- 4 x + 16) (x + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x (x + 6) + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.5.1.2

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.5.1.3

Moltiplica $16$ per $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.5.2

Somma $- 24 x$ e $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 8 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.7.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.2

Sottrai $4 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.3

Sottrai $8 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 48 x + 48 + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.2.4

Somma $48 x$ e $96 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3.3

Scomponi $2$ da $144 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3.4

Scomponi $2$ da $48$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3.6

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.3.7

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.7

Scomponi $- 1$ da $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.9

Riscrivi $24$ come $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 \cdot - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.11

Riscrivi $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ come $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 2.15.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}})$

Passaggio 2.15.14

Moltiplica $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 24$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.7

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.2

Riscrivi $- 2$ come $4$ più $- 6$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f' (x) = \frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.9

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 4, - 6$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4, - 6$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{({(4)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 4^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 72$ per $4$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Somma $64$ e $48$ .

$\frac{2 (112 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Sottrai $288$ da $112$ .

$\frac{2 (- 176 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Sottrai $24$ da $- 176$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(16 + 24)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $16$ e $24$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{40^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $40$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{64000}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $2$ per $- 200$ .

$\frac{- 400}{64000}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $- 400$ e $64000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $400$ da $- 400$ .

$\frac{400 (- 1)}{64000}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $400$ da $64000$ .

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{160}$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{160}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{(4) + 1}{{(4)}^{2} + 24}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $4$ e $1$ .

$f (4) = \frac{5}{4^{2} + 24}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 + 24}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $16$ e $24$ .

$f (4) = \frac{5}{40}$

Passaggio 11.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (4) = \frac{5 (1)}{40}$

Passaggio 11.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $40$ .

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Passaggio 11.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Passaggio 11.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 \cdot 36 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $3$ per $36$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 72$ per $- 6$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.1.5

Somma $- 216$ e $108$ .

$\frac{2 (- 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.1.6

Somma $- 108$ e $432$ .

$\frac{2 (324 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.1.7

Sottrai $24$ da $324$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{(36 + 24)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $36$ e $24$ .

$\frac{2 \cdot 300}{60^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Eleva $60$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot 300}{216000}$

Passaggio 13.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $2$ per $300$ .

$\frac{600}{216000}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune di $600$ e $216000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Scomponi $600$ da $600$ .

$\frac{600 (1)}{216000}$

Passaggio 13.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.2.1

Scomponi $600$ da $216000$ .

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Passaggio 13.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Passaggio 13.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{360}$

Passaggio 14

$x = - 6$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 6$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = \frac{(- 6) + 1}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $- 6$ e $1$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{36 + 24}$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $36$ e $24$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{60}$

Passaggio 15.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (- 6) = \frac{5 (- 1)}{60}$

Passaggio 15.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $60$ .

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Passaggio 15.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Passaggio 15.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 6) = \frac{- 1}{12}$

Passaggio 15.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 6) = - \frac{1}{12}$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ è un massimo locale

$(- 6, - \frac{1}{12})$ è un minimo locale

Passaggio 17