Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (\tan (3 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (3 x)$ .

$- \sin (\tan (3 x)) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$- \sin (\tan (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \sin (\tan (3 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \sin (\tan (3 x)) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)$ .

$- 3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x))$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\sec (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$- 3 {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \sin (\tan (3 x))$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$- 3 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Passaggio 4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 3 \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Passaggio 4.5

$- 3$ e $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$\frac{- 3}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Passaggio 4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Passaggio 4.7

$\sin (\tan (3 x))$ e $\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (3 x)) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

Passaggio 4.8

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (\tan (3 x))$ .

$- \frac{3 \cdot \sin (\tan (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}$

Passaggio 4.9

Scomponi $\cos (3 x)$ da $\cos^{2} (3 x)$ .

$- \frac{3 \sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Passaggio 4.10

Frazioni separate.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x)})$

Passaggio 4.11

Riscrivi $\frac{\sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x)}$ come un prodotto.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}))$

Passaggio 4.12

Scrivi $\sin (\tan (3 x))$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\frac{\sin (\tan (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}))$

Passaggio 4.13

Semplifica.

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Passaggio 4.13.1

Dividi $\sin (\tan (3 x))$ per $1$ .

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}))$

Passaggio 4.13.2

Converti da $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Passaggio 4.14

Frazioni separate.

$- (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Passaggio 4.15

Converti da $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$- (\frac{3}{1} \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Passaggio 4.16

Dividi $3$ per $1$ .

$- (3 \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Passaggio 4.17

Moltiplica $3 \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x))$ .

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Passaggio 4.17.1

Eleva $\sec (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$- (3 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) \sin (\tan (3 x)))$

Passaggio 4.17.2

Eleva $\sec (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$- (3 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) \sin (\tan (3 x)))$

Passaggio 4.17.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (3 {\sec (3 x)}^{1 + 1} \sin (\tan (3 x)))$

Passaggio 4.17.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x)))$

Passaggio 4.18

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x))$