Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - x - 2$ e $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.11

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.12

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.13

Riscrivi $- 1 {(x - 5)}^{2}$ come $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.14

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.15

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.16

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.17

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.17.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.18

Scomponi $x - 5$ da $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.1

Scomponi $x - 5$ da $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.18.2

Scomponi $x - 5$ da $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.18.3

Scomponi $x - 5$ da $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.19.1

Scomponi $x - 5$ da ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $- x$ e $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $5$ e $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ e $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica ${(x - 5)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi ${(x - 5)}^{2}$ da ${(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi ${(x - 5)}^{2}$ da ${(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.4.2.2

Scomponi ${(x - 5)}^{2}$ da $- 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.4.2.3

Scomponi ${(x - 5)}^{2}$ da ${(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi ${(x - 5)}^{2}$ da ${(x - 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.8

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 3 \cdot 9}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.2.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 5 - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.2.3

Sottrai $27$ da $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.3

Scomponi $2$ da $- 2 x - 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.3.2

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (- 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.5

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.7

Riscrivi $- (x + 16)$ come $- 1 (x + 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.9

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.11

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.12

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.13

Riscrivi $- 1 {(x - 5)}^{2}$ come $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.14

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.17

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.17.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.17.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.18

Scomponi $x - 5$ da $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.18.1

Scomponi $x - 5$ da $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.18.2

Scomponi $x - 5$ da $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.18.3

Scomponi $x - 5$ da $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.19.1

Scomponi $x - 5$ da ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.4

Somma $- x$ e $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.5

Somma $5$ e $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.6

Somma $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 9 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 5)}^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Poni $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 9$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 9$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 ((- 9) + 16)}{{((- 9) - 5)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $- 9$ e $16$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 9 - 5)}^{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $5$ da $- 9$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 14)}^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $- 14$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{38416}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- \frac{14}{38416}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $14$ e $38416$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $14$ da $14$ .

$- \frac{14 (1)}{38416}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $14$ da $38416$ .

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2744}$

Passaggio 10

$x = - 9$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 9$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = \frac{- (- 9) - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{9 - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Passaggio 11.2.1.2

Sottrai $2$ da $9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Passaggio 11.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Sottrai $5$ da $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{(- 14)}^{2}} + 9$

Passaggio 11.2.2.1.2

Eleva $- 14$ alla potenza di $2$ .

$f (- 9) = \frac{7}{196} + 9$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ e $196$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$f (- 9) = \frac{7 (1)}{196} + 9$

Passaggio 11.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.1

Scomponi $7$ da $196$ .

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Passaggio 11.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Passaggio 11.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9$

Passaggio 11.2.3

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9 \cdot \frac{28}{28}$

Passaggio 11.2.4

$9$ e $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + \frac{9 \cdot 28}{28}$

Passaggio 11.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 9) = \frac{1 + 9 \cdot 28}{28}$

Passaggio 11.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $9$ per $28$ .

$f (- 9) = \frac{1 + 252}{28}$

Passaggio 11.2.6.2

Somma $1$ e $252$ .

$f (- 9) = \frac{253}{28}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $\frac{253}{28}$ .

$y = \frac{253}{28}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ .

$(- 9, \frac{253}{28})$ è un massimo locale

Passaggio 13