Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 5 x + 10$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Somma $2 x + 5$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Espandi $(- x + 1) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3.2

Somma $- 5 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai $3 x$ da $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.4

Somma $10$ e $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \frac{d}{d x} (x - 5) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + 0)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \cdot 1) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + x - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x + 3 - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.8.4

Sottrai $5$ da $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 (x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $x^{2} + 5 x + 10$ da ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $x^{2} + 5 x + 10$ da ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x^{2} + 5 x + 10$ da $- 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $x^{2} + 5 x + 10$ da $(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x^{2} + 5 x + 10$ da ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{(x^{2} + 5 x + 10) {(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.13

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.15

Somma $2 x + 5$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.17

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Moltiplica $\frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + 0$

Passaggio 2.17.2

Somma $- \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.1

Espandi $(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 (x \cdot x)) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x^{2}) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.6

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.7

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $10$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.2.9

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.4

Somma $- 10 x$ e $20 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 6) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.6

Espandi $(- 2 x - 6) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x (x - 5) - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.7.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.7.2

Sottrai $6 x$ da $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.8

Espandi $(- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.9.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.9.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.4

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.9.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.8

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.9

Moltiplica $2$ per $30$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.9.10

Moltiplica $30$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.10

Somma $- 10 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.1.11

Somma $20 x$ e $60 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.2

Sottrai $4 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 10 x - 20 + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.4

Somma $10 x$ e $80 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x - 20 + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.5

Somma $- 20$ e $150$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.2

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.3

Scomponi $2$ da $90 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.4

Scomponi $2$ da $130$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.6

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.3.7

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.5

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.7

Scomponi $- 1$ da $45 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.9

Riscrivi $65$ come $- 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 \cdot - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.11

Riscrivi $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ come $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 2.18.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}})$

Passaggio 2.18.14

Moltiplica $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 5 x + 10$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.10

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.11

Somma $2 x + 5$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.2

Espandi $(- x + 1) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.1.3.2

Somma $- 5 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.3

Sottrai $3 x$ da $5 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2.4

Somma $10$ e $5$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f' (x) = \frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.7

Riscrivi $- (x + 3)$ come $- 1 (x + 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 3) (x - 5) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x - 5) = 0$ vera.

$x = - 3, 5$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 3, 5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1 + 2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (- 27 + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- 45$ per $- 3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.2.4

Sottrai $27$ da $- 27$ .

$\frac{2 (- 54 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.2.5

Somma $- 54$ e $135$ .

$\frac{2 (81 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.2.6

Sottrai $65$ da $81$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 - 15 + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.3.3

Sottrai $15$ da $9$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(- 6 + 10)}^{3}}$

Passaggio 9.3.4

Somma $- 6$ e $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{4^{3}}$

Passaggio 9.3.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{64}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{32}{64}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune di $32$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $32$ da $32$ .

$\frac{32 (1)}{64}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Scomponi $32$ da $64$ .

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Passaggio 9.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Passaggio 9.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10

$x = - 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 3$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{(- 3) - 1}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 + 5 (- 3) + 10}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 - 15 + 10}$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $15$ da $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{- 6 + 10}$

Passaggio 11.2.2.4

Somma $- 6$ e $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$f (- 3) = - 1$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 3 {(5)}^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{({(5)}^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 5^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 25 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 3$ per $25$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 45$ per $5$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.1.5

Sottrai $75$ da $125$ .

$\frac{2 (50 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.1.6

Sottrai $225$ da $50$ .

$\frac{2 (- 175 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.1.7

Sottrai $65$ da $- 175$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 25 + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Somma $25$ e $25$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(50 + 10)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4

Somma $50$ e $10$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{60^{3}}$

Passaggio 13.2.5

Eleva $60$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{216000}$

Passaggio 13.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $2$ per $- 240$ .

$\frac{- 480}{216000}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune di $- 480$ e $216000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Scomponi $480$ da $- 480$ .

$\frac{480 (- 1)}{216000}$

Passaggio 13.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.2.1

Scomponi $480$ da $216000$ .

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Passaggio 13.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Passaggio 13.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{450}$

Passaggio 13.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{450}$

Passaggio 14

$x = 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \frac{(5) - 1}{{(5)}^{2} + 5 (5) + 10}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$f (5) = \frac{4}{5^{2} + 5 (5) + 10}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 5 (5) + 10}$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 25 + 10}$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $25$ e $25$ .

$f (5) = \frac{4}{50 + 10}$

Passaggio 15.2.2.4

Somma $50$ e $10$ .

$f (5) = \frac{4}{60}$

Passaggio 15.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (5) = \frac{4 (1)}{60}$

Passaggio 15.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Passaggio 15.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Passaggio 15.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (5) = \frac{1}{15}$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{15}$ .

$y = \frac{1}{15}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ .

$(- 3, - 1)$ è un minimo locale

$(5, \frac{1}{15})$ è un massimo locale

Passaggio 17