Calcolo Esempi

$f (x) = x e^{\frac{- x^{2}}{8}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- \frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ e $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

Passaggio 1.10

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- \frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- 2 (\frac{1}{8}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.8

$- 2$ e $\frac{1}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2}{8} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.9

$\frac{- 2}{8}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2 x}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 (4)})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- x}{4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.12

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ e $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.13

$x^{2}$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.14

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.14.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.14.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.2.14.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- \frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- 2 (\frac{1}{8}) \cdot x)$

Passaggio 2.3.5

$- 2$ e $\frac{1}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2}{8} x)$

Passaggio 2.3.6

$\frac{- 2}{8}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2 x}{8})$

Passaggio 2.3.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{8})$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 (4)})$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 4})$

Passaggio 2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- x}{4})$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x}{4})$

Passaggio 2.3.9

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ e $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - 2 (\frac{1}{4}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.6

$- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.7

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ e $\frac{- 2}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot - 2}{4} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.8

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot - 2}{4}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot (- 2 x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{2 (2)} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.12

Per scrivere $- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.13.1

Moltiplica $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2 - e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.15

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x - e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.16

Sottrai $e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori in $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- \frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ e $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.10

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ da $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ da $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ da $e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4} + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $\frac{x^{2}}{4}$ come ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- {(\frac{x}{2})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.4

Riordina $- {(\frac{x}{2})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} ((1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})) = 0$

Passaggio 5.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

$1 + \frac{x}{2} = 0$

$1 - \frac{x}{2} = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{8}}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $1 + \frac{x}{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $1 + \frac{x}{2}$ uguale a $0$ .

$1 + \frac{x}{2} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $1 + \frac{x}{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = - 2$

Passaggio 5.6

Imposta $1 - \frac{x}{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $1 - \frac{x}{2}$ uguale a $0$ .

$1 - \frac{x}{2} = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $1 - \frac{x}{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Passaggio 5.6.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2}) = 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{(- 2)}^{3} e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{16 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 (1)}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $8$ da $16 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (- 1)}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 9.1.8

Sposta $e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2)}{4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Passaggio 9.1.9

Scomponi $2$ da $3 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Passaggio 9.1.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.1

Scomponi $2$ da $4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{2 (2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}})}$

Passaggio 9.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{2 (2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}})}$

Passaggio 9.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Passaggio 9.1.11

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Passaggio 9.1.13

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 (1)}{8}}}$

Passaggio 9.1.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Passaggio 9.1.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Passaggio 9.1.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.15

Moltiplica $- - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.15.2

Moltiplica $\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{\frac{- {(- 2)}^{2}}{8}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 1 \cdot 4}{8}}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 4}{8}}$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 11.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 11.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.5

$- 2$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{(2)}^{3} e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2)}^{3}}{16 e^{\frac{2^{2}}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2^{3}}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 (1)}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.5

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{8 (1)}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Scomponi $8$ da $16 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (1)}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 \cdot 1}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Passaggio 13.1.7

Sposta $e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2)}{4 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Passaggio 13.1.8

Scomponi $2$ da $3 (2)$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{4 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Passaggio 13.1.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.1

Scomponi $2$ da $4 e^{\frac{2^{2}}{8}}$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{2 (2 e^{\frac{2^{2}}{8}})}$

Passaggio 13.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{2 (2 e^{\frac{2^{2}}{8}})}$

Passaggio 13.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Passaggio 13.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Passaggio 13.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 (1)}{8}}}$

Passaggio 13.1.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $2$ da $2 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (e^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = (2) \cdot e^{\frac{- {(2)}^{2}}{8}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 1 \cdot 4}{8}}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 4}{8}}$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 15.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 15.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.5

$2$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (2) = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{\frac{- x^{2}}{8}}$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ è un minimo locale

$(2, \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ è un massimo locale

Passaggio 17