Calcolo Esempi

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{1}{50}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{50}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{1}{50}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1$

Passaggio 1.9

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{1}{25}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}}) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{50})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{50})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{50})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- \frac{1}{50}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{50}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- 2 (\frac{1}{50}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.8

$- 2$ e $\frac{1}{50}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{- 2}{50} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.9

$\frac{- 2}{50}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{- 2 x}{50})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{2 (- x)}{50})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{2 (- x)}{2 (25)})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 25})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{- x}{25})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x}{25})) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.12

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{x}{25}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.13

$x^{2}$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.14

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.14.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.14.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.2.14.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{50})$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{50})$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{50})$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- \frac{1}{50}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{50}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \cdot (2 x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- 2 (\frac{1}{50}) \cdot x)$

Passaggio 2.3.5

$- 2$ e $\frac{1}{50}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{- 2}{50} x)$

Passaggio 2.3.6

$\frac{- 2}{50}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{- 2 x}{50})$

Passaggio 2.3.7

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{2 (- x)}{50})$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{2 (- x)}{2 (25)})$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 25})$

Passaggio 2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{- x}{25})$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x}{25})$

Passaggio 2.3.9

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{x}{25}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{25} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) - \frac{1}{25} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{25}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} - \frac{1}{25} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{25} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} - \frac{1}{25} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} - \frac{1}{25} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.4

Moltiplica $25$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} - \frac{1}{25} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} - 2 (\frac{1}{25}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.6

$- 2$ e $\frac{1}{25}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{- 2}{25} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.7

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{- 2}{25}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot - 2}{25} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.8

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot - 2}{25}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot (- 2 x)}{25} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{25} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} - \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x - e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.12

Sottrai $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ da $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori in $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} - \frac{3 x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{50}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{50}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{1}{50}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ da $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ da $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x^{2}}{25}) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x^{2}}{25}) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ da $e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x^{2}}{25}) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x^{2}}{25} + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{x^{2}}{25} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $\frac{x^{2}}{25}$ come ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- {(\frac{x}{5})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.4

Riordina $- {(\frac{x}{5})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{5}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} ((1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})) = 0$

Passaggio 5.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5}) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$

$1 + \frac{x}{5} = 0$

$1 - \frac{x}{5} = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{50}}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- \frac{x^{2}}{50}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $1 + \frac{x}{5}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $1 + \frac{x}{5}$ uguale a $0$ .

$1 + \frac{x}{5} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $1 + \frac{x}{5} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{5} = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 \frac{x}{5} = 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{x}{5} = 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.2.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x = - 5$

Passaggio 5.6

Imposta $1 - \frac{x}{5}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $1 - \frac{x}{5}$ uguale a $0$ .

$1 - \frac{x}{5} = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $1 - \frac{x}{5} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x}{5} = - 1$

Passaggio 5.6.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 5$ .

$- 5 (- \frac{x}{5}) = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1

Semplifica $- 5 (- \frac{x}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{5}$ nel numeratore.

$- 5 \frac{- x}{5} = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- x}{5} = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot - 1 \frac{- x}{5} = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - 5 \cdot - 1$

Passaggio 5.6.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$x = 5$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- \frac{x^{2}}{50}} (1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5}) = 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 5, 5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{(- 5)}^{3} e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{625} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 5)}^{3}}{625 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(- 5)}^{3}}{625 e^{\frac{25}{50}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 125}{625 e^{\frac{25}{50}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$\frac{- 125}{625 e^{\frac{25 (1)}{50}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$\frac{- 125}{625 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 125}{625 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 125}{625 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $125$ da $- 125$ .

$\frac{125 (- 1)}{625 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $125$ da $625 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{125 (- 1)}{125 (5 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{125 \cdot - 1}{125 (5 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 5) e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 9.1.8

Sposta $e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 5)}{25 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}$

Passaggio 9.1.9

Scomponi $5$ da $3 (- 5)$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 (3 \cdot (- 1))}{25 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}$

Passaggio 9.1.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.1

Scomponi $5$ da $25 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 (3 \cdot (- 1))}{5 (5 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}})}$

Passaggio 9.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 (3 \cdot (- 1))}{5 (5 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}})}$

Passaggio 9.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{5 e^{\frac{{(- 5)}^{2}}{50}}}$

Passaggio 9.1.11

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{5 e^{\frac{25}{50}}}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{5 e^{\frac{25}{50}}}$

Passaggio 9.1.13

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{5 e^{\frac{25 (1)}{50}}}$

Passaggio 9.1.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{5 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}}$

Passaggio 9.1.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{5 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}}$

Passaggio 9.1.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.15

Moltiplica $- - \frac{3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.15.2

Moltiplica $\frac{3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

$x = - 5$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 5$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = (- 5) \cdot e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = - 5 \cdot e^{- \frac{25}{50}}$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$f (- 5) = - 5 \cdot e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Passaggio 11.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$f (- 5) = - 5 \cdot e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 5) = - 5 \cdot e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5) = - 5 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - 5 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.4

$- 5$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 5) = - \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $- \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{(5)}^{3} e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{625} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(5)}^{3}}{625 e^{\frac{5^{2}}{50}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5^{3}}{625 e^{\frac{25}{50}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{125}{625 e^{\frac{25}{50}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$\frac{125}{625 e^{\frac{25 (1)}{50}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$\frac{125}{625 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{125}{625 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{125}{625 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.5

Scomponi $125$ da $125$ .

$\frac{125 (1)}{625 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Scomponi $125$ da $625 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{125 (1)}{125 (5 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{125 \cdot 1}{125 (5 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (5) e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 13.1.7

Sposta $e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (5)}{25 e^{\frac{5^{2}}{50}}}$

Passaggio 13.1.8

Scomponi $5$ da $3 (5)$ .

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 \cdot 3}{25 e^{\frac{5^{2}}{50}}}$

Passaggio 13.1.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.1

Scomponi $5$ da $25 e^{\frac{5^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 \cdot 3}{5 (5 e^{\frac{5^{2}}{50}})}$

Passaggio 13.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 \cdot 3}{5 (5 e^{\frac{5^{2}}{50}})}$

Passaggio 13.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{5 e^{\frac{5^{2}}{50}}}$

Passaggio 13.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{5 e^{\frac{25}{50}}}$

Passaggio 13.1.11

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{5 e^{\frac{25 (1)}{50}}}$

Passaggio 13.1.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{5 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{5 e^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 3}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{5 e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

$x = 5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = (5) \cdot e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 5 \cdot e^{- \frac{25}{50}}$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$f (5) = 5 \cdot e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$f (5) = 5 \cdot e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (5) = 5 \cdot e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (5) = 5 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 15.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = 5 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.4

$5$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (5) = \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $\frac{5}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$(- 5, - \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}})$ è un minimo locale

$(5, \frac{5}{e^{\frac{1}{2}}})$ è un massimo locale

Passaggio 17