Calcolo Esempi

$f (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} - 60 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 48 x^{2} - 60 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 x^{2} - 96 x - 60$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $36$ .

$f'' (x) = 72 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 96 x$ rispetto a $x$ è $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 96$ per $1$ .

$f'' (x) = 72 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 60)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 72 x - 96 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $72 x - 96$ e $0$ .

$f'' (x) = 72 x - 96$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$36 x^{2} - 96 x - 60 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 48 x^{2} - 60 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f' (x) = 36 x^{2} - 96 x - 60$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 96 x - 60$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 96 x - 60 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 96 x - 60 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $12$ da $36 x^{2} - 96 x - 60$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x - 60 = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $12$ da $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) - 60 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $12$ da $- 60$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (- 5) = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (- 5) = 0$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (- 5)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x - 5) = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 (3 x^{2} - 8 x - 5) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 (3 x^{2} - 8 x - 5) = 0$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x - 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x - 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 8 x - 5$ per $1$ .

$3 x^{2} - 8 x - 5 = \frac{0}{12}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$3 x^{2} - 8 x - 5 = 0$

Passaggio 5.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 8$ e $c = - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 5)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $64$ e $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.4

Riscrivi $124$ come $2^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.1.3

Somma $64$ e $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.1.4

Riscrivi $124$ come $2^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 5.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 5.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 60}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.1.3

Somma $64$ e $60$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.1.4

Riscrivi $124$ come $2^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.4.1

Scomponi $4$ da $124$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 5.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 5.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}, \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}, \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$72 (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) - 96$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$3 (24) \frac{4 + \sqrt{31}}{3} - 96$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 24 \frac{4 + \sqrt{31}}{3} - 96$

Passaggio 9.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$24 (4 + \sqrt{31}) - 96$

Passaggio 9.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$24 \cdot 4 + 24 \sqrt{31} - 96$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $24$ per $4$ .

$96 + 24 \sqrt{31} - 96$

Passaggio 9.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $96$ da $96$ .

$0 + 24 \sqrt{31}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $24 \sqrt{31}$ .

$24 \sqrt{31}$

Passaggio 10

$x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 12 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{3} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 12 (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}}) - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 12 (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{27}) - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 3 (4) (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{27}) - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.3.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{3 \cdot 9})) - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{3 \cdot 9})) - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = 4 (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{9}) - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.4

$4$ e $\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{3}}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 {(4 + \sqrt{31})}^{3}}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.5

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{31}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{31}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 3 \cdot (16 \sqrt{31}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 3 \cdot (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 {\sqrt{31}}^{2} + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.5

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31 + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31 + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.6

Moltiplica $12$ per $31$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 372 + {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.7

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{3}$ come $\sqrt{31^{3}}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 372 + \sqrt{31^{3}})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.8

Eleva $31$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 372 + \sqrt{29791})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.9

Riscrivi $29791$ come $31^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.9.1

Scomponi $961$ da $29791$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 372 + \sqrt{961 (31)})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.9.2

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 372 + \sqrt{31^{2} \cdot 31})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 \sqrt{31} + 372 + 31 \sqrt{31})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.7

Somma $64$ e $372$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 48 \sqrt{31} + 31 \sqrt{31})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.8

Somma $48 \sqrt{31}$ e $31 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - 48 {(\frac{4 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 + \sqrt{31}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - 48 \frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - 48 \frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{9} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.11

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.11.1

Scomponi $3$ da $- 48$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + 3 (- 16) (\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{9}) - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.11.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 16 \frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{3 \cdot 3}) - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 16 \frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{3 \cdot 3}) - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - 16 \frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.12

$- 16$ e $\frac{{(4 + \sqrt{31})}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 {(4 + \sqrt{31})}^{2}}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.13

Riscrivi ${(4 + \sqrt{31})}^{2}$ come $(4 + \sqrt{31}) (4 + \sqrt{31})$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 ((4 + \sqrt{31}) (4 + \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.14

Espandi $(4 + \sqrt{31}) (4 + \sqrt{31})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (4 (4 + \sqrt{31}) + \sqrt{31} (4 + \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{31} + \sqrt{31} (4 + \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{31} + \sqrt{31} \cdot 4 + \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.15.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 \sqrt{31} + \sqrt{31} \cdot 4 + \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 \sqrt{31} + 4 \cdot \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} + \sqrt{31 \cdot 31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.1.4

Moltiplica $31$ per $31$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} + \sqrt{961})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.1.5

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} + \sqrt{31^{2}})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} + 31)}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.2

Somma $16$ e $31$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (47 + 4 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.15.3

Somma $4 \sqrt{31}$ e $4 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 + \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 11.2.1.17

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.17.1

Scomponi $3$ da $- 60$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} + 3 (- 20) (\frac{4 + \sqrt{31}}{3})$

Passaggio 11.2.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} + 3 \cdot (- 20 \frac{4 + \sqrt{31}}{3})$

Passaggio 11.2.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} - 20 (4 + \sqrt{31})$

Passaggio 11.2.1.18

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} - 20 \cdot 4 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.1.19

Moltiplica $- 20$ per $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{16 (47 + 8 \sqrt{31})}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 + 79 \sqrt{31}) - 16 (47 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 \cdot 436 + 4 (79 \sqrt{31}) - 16 (47 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.2

Moltiplica $4$ per $436$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 4 (79 \sqrt{31}) - 16 (47 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.3

Moltiplica $79$ per $4$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} - 16 (47 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} + (- 16 \cdot 47 - 16 (8 \sqrt{31})) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.5

Moltiplica $- 16$ per $47$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} + (- 752 - 16 (8 \sqrt{31})) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.6

Moltiplica $8$ per $- 16$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} + (- 752 - 128 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} - 752 \cdot 3 - 128 \sqrt{31} \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.8

Moltiplica $- 752$ per $3$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} - 2256 - 128 \sqrt{31} \cdot 3}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.9

Moltiplica $3$ per $- 128$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 316 \sqrt{31} - 2256 - 384 \sqrt{31}}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.10

Sottrai $2256$ da $1744$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 + 316 \sqrt{31} - 384 \sqrt{31}}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.5.11

Sottrai $384 \sqrt{31}$ da $316 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 - 68 \sqrt{31}}{9} - 80 - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.6

Per scrivere $- 80$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 - 68 \sqrt{31}}{9} - 80 \cdot \frac{9}{9} - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.7

$- 80$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 - 68 \sqrt{31}}{9} + \frac{- 80 \cdot 9}{9} - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 - 68 \sqrt{31} - 80 \cdot 9}{9} - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.8.2

Moltiplica $- 80$ per $9$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 - 68 \sqrt{31} - 720}{9} - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.8.3

Sottrai $720$ da $- 512$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 - 68 \sqrt{31}}{9} - 20 \sqrt{31}$

Passaggio 11.2.9

Per scrivere $- 20 \sqrt{31}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 - 68 \sqrt{31}}{9} - 20 \sqrt{31} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 11.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1

$- 20 \sqrt{31}$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 - 68 \sqrt{31}}{9} + \frac{- 20 \sqrt{31} \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.2.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 - 68 \sqrt{31} - 20 \sqrt{31} \cdot 9}{9}$

Passaggio 11.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.11.1

Moltiplica $9$ per $- 20$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 - 68 \sqrt{31} - 180 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 11.2.11.2

Sottrai $180 \sqrt{31}$ da $- 68 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 - 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 11.2.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.12.1

Riscrivi $- 1232$ come $- 1 (1232)$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1232 - 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 11.2.12.2

Scomponi $- 1$ da $- 248 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1232 - (248 \sqrt{31})}{9}$

Passaggio 11.2.12.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1232) - (248 \sqrt{31})$ .

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 (1232 + 248 \sqrt{31})}{9}$

Passaggio 11.2.12.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{1232 + 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 11.2.13

La risposta finale è $- \frac{1232 + 248 \sqrt{31}}{9}$ .

$y = - \frac{1232 + 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$72 (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) - 96$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$3 (24) \frac{4 - \sqrt{31}}{3} - 96$

Passaggio 13.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 24 \frac{4 - \sqrt{31}}{3} - 96$

Passaggio 13.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$24 (4 - \sqrt{31}) - 96$

Passaggio 13.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$24 \cdot 4 + 24 (- \sqrt{31}) - 96$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $24$ per $4$ .

$96 + 24 (- \sqrt{31}) - 96$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$96 - 24 \sqrt{31} - 96$

Passaggio 13.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $96$ da $96$ .

$0 - 24 \sqrt{31}$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $24 \sqrt{31}$ da $0$ .

$- 24 \sqrt{31}$

Passaggio 14

$x = \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 12 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{3} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 12 (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}}) - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 12 (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{27}) - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 3 (4) (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{27}) - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.3.2

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{3 \cdot 9})) - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{3 \cdot 9})) - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = 4 (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{9}) - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.4

$4$ e $\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{3}}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 {(4 - \sqrt{31})}^{3}}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.5

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 + 48 (- \sqrt{31}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.4

Moltiplica $- 1$ per $48$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 {(- \sqrt{31})}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 (1 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.8

Moltiplica ${\sqrt{31}}^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 {\sqrt{31}}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.9

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31 + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.9.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 12 \cdot 31 + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.10

Moltiplica $12$ per $31$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 + {(- \sqrt{31})}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.11

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - {\sqrt{31}}^{3})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.13

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{3}$ come $\sqrt{31^{3}}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - \sqrt{31^{3}})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.14

Eleva $31$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - \sqrt{29791})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.15

Riscrivi $29791$ come $31^{2} \cdot 31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.15.1

Scomponi $961$ da $29791$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - \sqrt{961 (31)})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.15.2

Riscrivi $961$ come $31^{2}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - \sqrt{31^{2} \cdot 31})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.16

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - (31 \sqrt{31}))}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.6.17

Moltiplica $31$ per $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (64 - 48 \sqrt{31} + 372 - 31 \sqrt{31})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.7

Somma $64$ e $372$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 48 \sqrt{31} - 31 \sqrt{31})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.8

Sottrai $31 \sqrt{31}$ da $- 48 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - 48 {(\frac{4 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 - \sqrt{31}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - 48 \frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - 48 \frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{9} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.11

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.11.1

Scomponi $3$ da $- 48$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + 3 (- 16) (\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{9}) - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.11.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 16 \frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{3 \cdot 3}) - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 16 \frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{3 \cdot 3}) - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - 16 \frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.12

$- 16$ e $\frac{{(4 - \sqrt{31})}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 {(4 - \sqrt{31})}^{2}}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.13

Riscrivi ${(4 - \sqrt{31})}^{2}$ come $(4 - \sqrt{31}) (4 - \sqrt{31})$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 ((4 - \sqrt{31}) (4 - \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.14

Espandi $(4 - \sqrt{31}) (4 - \sqrt{31})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (4 (4 - \sqrt{31}) - \sqrt{31} (4 - \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} (4 - \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} \cdot 4 - \sqrt{31} (- \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 + 4 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} \cdot 4 - \sqrt{31} (- \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - \sqrt{31} \cdot 4 - \sqrt{31} (- \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} - \sqrt{31} (- \sqrt{31}))}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.4

Moltiplica $- \sqrt{31} (- \sqrt{31})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + 1 \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{31}$ per $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.4.3

Eleva $\sqrt{31}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.4.4

Eleva $\sqrt{31}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + {\sqrt{31}}^{1 + 1})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + {\sqrt{31}}^{2})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.5

Riscrivi ${\sqrt{31}}^{2}$ come $31$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{31}$ come $31^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + 31^{\frac{2}{2}})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + 31^{\frac{2}{2}})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + 31)}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (16 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31} + 31)}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.2

Somma $16$ e $31$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (47 - 4 \sqrt{31} - 4 \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.15.3

Sottrai $4 \sqrt{31}$ da $- 4 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} - 60 \frac{4 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 15.2.1.17

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.1

Scomponi $3$ da $- 60$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} + 3 (- 20) (\frac{4 - \sqrt{31}}{3})$

Passaggio 15.2.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} + 3 \cdot (- 20 \frac{4 - \sqrt{31}}{3})$

Passaggio 15.2.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} - 20 (4 - \sqrt{31})$

Passaggio 15.2.1.18

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} - 20 \cdot 4 - 20 (- \sqrt{31})$

Passaggio 15.2.1.19

Moltiplica $- 20$ per $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} - 80 - 20 (- \sqrt{31})$

Passaggio 15.2.1.20

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $- \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{3}{3} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{16 (47 - 8 \sqrt{31})}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31})}{9} - \frac{16 (47 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 (436 - 79 \sqrt{31}) - 16 (47 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{4 \cdot 436 + 4 (- 79 \sqrt{31}) - 16 (47 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.2

Moltiplica $4$ per $436$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 + 4 (- 79 \sqrt{31}) - 16 (47 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.3

Moltiplica $- 79$ per $4$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} - 16 (47 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} + (- 16 \cdot 47 - 16 (- 8 \sqrt{31})) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.5

Moltiplica $- 16$ per $47$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} + (- 752 - 16 (- 8 \sqrt{31})) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.6

Moltiplica $- 8$ per $- 16$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} + (- 752 + 128 \sqrt{31}) \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} - 752 \cdot 3 + 128 \sqrt{31} \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.8

Moltiplica $- 752$ per $3$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} - 2256 + 128 \sqrt{31} \cdot 3}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.9

Moltiplica $3$ per $128$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{1744 - 316 \sqrt{31} - 2256 + 384 \sqrt{31}}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.10

Sottrai $2256$ da $1744$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 - 316 \sqrt{31} + 384 \sqrt{31}}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.5.11

Somma $- 316 \sqrt{31}$ e $384 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 + 68 \sqrt{31}}{9} - 80 + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.6

Per scrivere $- 80$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 + 68 \sqrt{31}}{9} - 80 \cdot \frac{9}{9} + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.7

$- 80$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 + 68 \sqrt{31}}{9} + \frac{- 80 \cdot 9}{9} + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 + 68 \sqrt{31} - 80 \cdot 9}{9} + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.8.2

Moltiplica $- 80$ per $9$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 512 + 68 \sqrt{31} - 720}{9} + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.8.3

Sottrai $720$ da $- 512$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 + 68 \sqrt{31}}{9} + 20 \sqrt{31}$

Passaggio 15.2.9

Per scrivere $20 \sqrt{31}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 + 68 \sqrt{31}}{9} + 20 \sqrt{31} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 15.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.10.1

$20 \sqrt{31}$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 + 68 \sqrt{31}}{9} + \frac{20 \sqrt{31} \cdot 9}{9}$

Passaggio 15.2.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 + 68 \sqrt{31} + 20 \sqrt{31} \cdot 9}{9}$

Passaggio 15.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.11.1

Moltiplica $9$ per $20$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 + 68 \sqrt{31} + 180 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 15.2.11.2

Somma $68 \sqrt{31}$ e $180 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1232 + 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 15.2.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.12.1

Riscrivi $- 1232$ come $- 1 (1232)$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1232 + 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 15.2.12.2

Scomponi $- 1$ da $248 \sqrt{31}$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1232 - (- 248 \sqrt{31})}{9}$

Passaggio 15.2.12.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1232) - (- 248 \sqrt{31})$ .

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 (1232 - 248 \sqrt{31})}{9}$

Passaggio 15.2.12.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{1232 - 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 15.2.13

La risposta finale è $- \frac{1232 - 248 \sqrt{31}}{9}$ .

$y = - \frac{1232 - 248 \sqrt{31}}{9}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} - 60 x$ .

$(\frac{4 + \sqrt{31}}{3}, - \frac{1232 + 248 \sqrt{31}}{9})$ è un minimo locale

$(\frac{4 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{1232 - 248 \sqrt{31}}{9})$ è un massimo locale

Passaggio 17