Calcolo Esempi

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.4

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $24 x - 6 x^{2}$ e $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 12 x + 24$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $6 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Somma $24 x - 6 x^{2}$ e $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Passaggio 4.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Passaggio 5.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.3

Sostituisci i valori $a = - 6$ , $b = 24$ e $c = 6 y$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Moltiplica $24$ per $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $144$ da $576 + 144 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Scomponi $144$ da $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.3.2

Scomponi $144$ da $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.4

Riscrivi $144 (4 + y)$ come $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $24$ per $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.3

Scomponi $144$ da $576 + 144 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.3.1

Scomponi $144$ da $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.3.2

Scomponi $144$ da $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.4

Riscrivi $144 (4 + y)$ come $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Passaggio 5.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Eleva $24$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $24$ per $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $144$ da $576 + 144 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.3.1

Scomponi $144$ da $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.3.2

Scomponi $144$ da $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.4

Riscrivi $144 (4 + y)$ come $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.4.1

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Passaggio 5.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Passaggio 9.2

Combina i termini opposti in $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $- 24$ e $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $12 \sqrt{4 + y}$ da $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11