Calcolo Esempi

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 e^{x} - e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 e^{x}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 e^{x}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 e^{x} - e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 e^{x}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 4.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$12 u - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 u$ da $12 u - 2 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2 u$ da $12 u$ .

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $2 u$ da $- 2 u^{2}$ .

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $2 u$ da $2 u (6) + 2 u (- u)$ .

$2 u (6 - u) = 0$

Passaggio 5.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $6 - e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $6 - e^{x}$ uguale a $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $6 - e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{x} = - 6$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{x} = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{x} = - 6$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Passaggio 5.5.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Passaggio 5.5.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Passaggio 5.5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Passaggio 5.5.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (6)$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ vera.

$x = \ln (6)$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \ln (6)$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \ln (6)$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $6$ .

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica $2 (\ln (6))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

Passaggio 9.1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

Passaggio 9.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$72 - 4 \cdot 36$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $- 4$ per $36$ .

$72 - 144$

Passaggio 9.2

Sottrai $144$ da $72$ .

$- 72$

Passaggio 10

$x = \ln (6)$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \ln (6)$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \ln (6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (6)$ nell'espressione.

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $12$ per $6$ .

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica $2 (\ln (6))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

Passaggio 11.2.1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $36$ da $72$ .

$f (\ln (6)) = 36$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $36$ .

$y = 36$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ .

$(\ln (6), 36)$ è un massimo locale

Passaggio 13