Calcolo Esempi

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $10 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x y$ rispetto a $x$ è $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 5 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $10 y - 3 x^{2}$ e $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 10 y$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 10 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $10 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $10 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x y$ rispetto a $x$ è $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 5 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Somma $10 y - 3 x^{2}$ e $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 10 y$ .

$- 3 x^{2} + 10 y$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $10 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 10 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 10 y$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ come $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.5.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Passaggio 9.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sqrt{30 y}$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11