Calcolo Esempi

$f (x) = 1 + x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$0 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Passaggio 2.11.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Passaggio 2.11.3

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$0 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 5.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{1}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (2) = \frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 1 + x^{\frac{1}{3}}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11