Calcolo Esempi

$f (x) = 10 {(x - 1)}^{2} \cdot e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [10 ((x - 1) (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x + 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 1.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.7.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.7.3.3

Riscrivi $- 1 (x^{2} - 2 x + 1)$ come $- (x^{2} - 2 x + 1)$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 1.7.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.7.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.7.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.7.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.7.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.7.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + 0))$

Passaggio 1.7.10

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 ((- x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Passaggio 1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 (x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 10 (2 x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 (x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.5

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.6

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.7

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 (e^{- x} (x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 1.8.5.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x + 10 (- 2 \cdot e^{- x})$

Passaggio 1.8.5.9

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x - 20 e^{- x}$

Passaggio 1.8.5.10

Somma $20 x e^{- x}$ e $20 e^{- x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.10.1

Sposta $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Passaggio 1.8.5.10.2

Somma $20 x e^{- x}$ e $20 x e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Passaggio 1.8.5.11

Sottrai $20 e^{- x}$ da $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Passaggio 1.8.6

Riordina i termini.

$- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$

Passaggio 1.8.7

Riordina i fattori in $- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [40 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 30 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2} e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x^{2} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.2.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [40 x e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x e^{- x}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 30 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.4.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.4.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (- e^{- x})$

Passaggio 2.4.8

Moltiplica $- 1$ per $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x})) - 10 (e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x})) - 10 (e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f'' (x) = 10 (x^{2} (e^{- x})) - 10 (e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 20 (e^{- x} (x)) + 40 (x (- e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $40$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 20 e^{- x} x - 40 (x (e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.3.4

Sottrai $40 x e^{- x}$ da $- 20 e^{- x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.4.1

Sposta $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 20 x e^{- x} - 40 x e^{- x} + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.3.4.2

Sottrai $40 x e^{- x}$ da $- 20 x e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 60 x e^{- x} + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Passaggio 2.5.3.5

Somma $40 e^{- x}$ e $30 e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 60 x e^{- x} + 70 e^{- x}$

Passaggio 2.5.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 10 e^{- x} x^{2} - 60 e^{- x} x + 70 e^{- x}$

Passaggio 2.5.5

Riordina i fattori in $10 e^{- x} x^{2} - 60 e^{- x} x + 70 e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 60 x e^{- x} + 70 e^{- x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [10 ((x - 1) (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x + 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- x}]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.7.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.7.3.3

Riscrivi $- 1 (x^{2} - 2 x + 1)$ come $- (x^{2} - 2 x + 1)$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Passaggio 4.1.7.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.7.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.7.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.7.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.7.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.7.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + 0))$

Passaggio 4.1.7.10

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Passaggio 4.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 ((- x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Passaggio 4.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Passaggio 4.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.5.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 (x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 10 (2 x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 (x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.5

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.6

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.7

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 (e^{- x} (x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Passaggio 4.1.8.5.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x + 10 (- 2 \cdot e^{- x})$

Passaggio 4.1.8.5.9

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x - 20 e^{- x}$

Passaggio 4.1.8.5.10

Somma $20 x e^{- x}$ e $20 e^{- x} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.5.10.1

Sposta $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Passaggio 4.1.8.5.10.2

Somma $20 x e^{- x}$ e $20 x e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Passaggio 4.1.8.5.11

Sottrai $20 e^{- x}$ da $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Passaggio 4.1.8.6

Riordina i termini.

$- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$

Passaggio 4.1.8.7

Riordina i fattori in $- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$ .

$f' (x) = - 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $10 e^{- x}$ da $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $10 e^{- x}$ da $- 10 x^{2} e^{- x}$ .

$10 e^{- x} (- x^{2}) + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $10 e^{- x}$ da $40 x e^{- x}$ .

$10 e^{- x} (- x^{2}) + 10 e^{- x} (4 x) - 30 e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $10 e^{- x}$ da $- 30 e^{- x}$ .

$10 e^{- x} (- x^{2}) + 10 e^{- x} (4 x) + 10 e^{- x} (- 3) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $10 e^{- x}$ da $10 e^{- x} (- x^{2}) + 10 e^{- x} (4 x)$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + 4 x) + 10 e^{- x} (- 3) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $10 e^{- x}$ da $10 e^{- x} (- x^{2} + 4 x) + 10 e^{- x} (- 3)$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + 4 x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 3 = 3$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + 4 (x) - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $1$ più $3$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + (1 + 3) x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 e^{- x} (- x^{2} + 1 x + 3 x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + x + 3 x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$10 e^{- x} ((- x^{2} + x) + 3 x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$10 e^{- x} (x (- x + 1) - 3 (- x + 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 1$ .

$10 e^{- x} ((- x + 1) (x - 3)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$10 e^{- x} (- x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $- x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $- x + 1$ uguale a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $- x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $10 e^{- x} (- x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 1, 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$10 {(1)}^{2} e^{- (1)} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$10 \cdot 1 e^{- (1)} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 e^{- (1)} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$10 e^{- 1} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{e} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.5

$10$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{10}{e} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$\frac{10}{e} - 60 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{10}{e} - 60 e^{- 1} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{e} - 60 \frac{1}{e} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.9

$- 60$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{10}{e} + \frac{- 60}{e} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + 70 e^{- (1)}$

Passaggio 9.1.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + 70 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + 70 \frac{1}{e}$

Passaggio 9.1.13

$70$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + \frac{70}{e}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10 - 60 + 70}{e}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $60$ da $10$ .

$\frac{- 50 + 70}{e}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $- 50$ e $70$ .

$\frac{20}{e}$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 10 {((1) - 1)}^{2} \cdot e^{- (1)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 10 \cdot 0^{2} \cdot e^{- (1)}$

Passaggio 11.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (1) = 10 \cdot 0 \cdot e^{- (1)}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $10$ per $0$ .

$f (1) = 0 \cdot e^{- (1)}$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 0 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = 0 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{e}$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$10 {(3)}^{2} e^{- (3)} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$10 \cdot 9 e^{- (3)} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $10$ per $9$ .

$90 e^{- (3)} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$90 e^{- 3} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$90 \frac{1}{e^{3}} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.5

$90$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $- 60$ per $3$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 180 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 180 e^{- 3} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 180 \frac{1}{e^{3}} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.9

$- 180$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} + \frac{- 180}{e^{3}} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + 70 e^{- (3)}$

Passaggio 13.1.11

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + 70 e^{- 3}$

Passaggio 13.1.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + 70 \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 13.1.13

$70$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + \frac{70}{e^{3}}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{90 - 180 + 70}{e^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Sottrai $180$ da $90$ .

$\frac{- 90 + 70}{e^{3}}$

Passaggio 13.2.2.2

Somma $- 90$ e $70$ .

$\frac{- 20}{e^{3}}$

Passaggio 13.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20}{e^{3}}$

Passaggio 14

$x = 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 10 {((3) - 1)}^{2} \cdot e^{- (3)}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (3) = 10 \cdot 2^{2} \cdot e^{- (3)}$

Passaggio 15.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 10 \cdot 4 \cdot e^{- (3)}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $10$ per $4$ .

$f (3) = 40 \cdot e^{- (3)}$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (3) = 40 \cdot e^{- 3}$

Passaggio 15.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = 40 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Passaggio 15.2.6

$40$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f (3) = \frac{40}{e^{3}}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $\frac{40}{e^{3}}$ .

$y = \frac{40}{e^{3}}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 10 {(x - 1)}^{2} \cdot e^{- x}$ .

$(1, 0)$ è un minimo locale

$(3, \frac{40}{e^{3}})$ è un massimo locale

Passaggio 17