Calcolo Esempi

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.1.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ come ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.1.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Passaggio 1.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Passaggio 1.5.6.2

Somma $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ e $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

$- 6$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4.4

$- 10$ e $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4.5

Moltiplica $- 10$ per $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.6.4.7

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 1.6.4.8

$10$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Passaggio 1.6.4.9

Moltiplica $10$ per $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Passaggio 1.6.5

Riordina i termini.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{20}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $- 3$ per $20$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ come ${({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1))$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2}))$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 6} {(x + 3)}^{2})$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica ${(x + 3)}^{- 6}$ per ${(x + 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Sposta ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 ({(x + 3)}^{2} {(x + 3)}^{- 6}))$

Passaggio 2.3.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{2 - 6})$

Passaggio 2.3.12.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 4})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $- 3$ per $- 60$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$- 60$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.4.3.3

$180$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + \frac{180}{{(x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{180}{{(x + 3)}^{4}} - \frac{60}{x^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.1.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ come ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.1.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.1.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.3.5.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.5.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Passaggio 4.1.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.6.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Passaggio 4.1.5.6.2

Somma $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ e $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Passaggio 4.1.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

$- 6$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4.4

$- 10$ e $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4.5

Moltiplica $- 10$ per $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.6.4.7

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.6.4.8

$10$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.6.4.9

Moltiplica $10$ per $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.6.5

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 6.78350009$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{20}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta il denominatore in $\frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 3)}^{3} = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 3, x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 6.78350009$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 6.78350009$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{180}{{((6.78350009) + 3)}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Somma $6.78350009$ e $3$ .

$\frac{180}{{9.78350009}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.2

Eleva $9.78350009$ alla potenza di $4$ .

$\frac{180}{9161.72000483} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Passaggio 9.1.2

Dividi $180$ per $9161.72000483$ .

$0.01964696 - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $6.78350009$ alla potenza di $4$ .

$0.01964696 - \frac{60}{2117.46062276}$

Passaggio 9.1.4

Dividi $60$ per $2117.46062276$ .

$0.01964696 - 1 \cdot 0.02833582$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.02833582$ .

$0.01964696 - 0.02833582$

Passaggio 9.2

Sottrai $0.02833582$ da $0.01964696$ .

$- 0.00868886$

Passaggio 10

$x = 6.78350009$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6.78350009$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 6.78350009$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.78350009$ nell'espressione.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{((6.78350009) + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Somma $6.78350009$ e $3$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{9.78350009}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Passaggio 11.2.1.1.2

Eleva $9.78350009$ alla potenza di $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{95.71687419} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $3$ per $95.71687419$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $6.78350009$ alla potenza di $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{46.01587359})$

Passaggio 11.2.1.4

Dividi $1$ per $46.01587359$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 1 \cdot 0.02173163)$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0.02173163$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 0.02173163)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $0.02173163$ da $0.03134243$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot 0.0096108$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $10$ per $0.0096108$ .

$f (6.78350009) = 0.09610804$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0.09610804$ .

$y = 0.09610804$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(6.78350009, 0.09610804)$ è un massimo locale

Passaggio 13