Calcolo Esempi

$f (x) = 136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [136 x^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $136$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $136 x^{7}$ rispetto a $x$ è $136 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$136 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$136 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $7$ per $136$ .

$952 x^{6} + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $576$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $576 x^{7} \ln (3 x)$ rispetto a $x$ è $576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$ .

$952 x^{6} + 576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 1.3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.8

$\frac{1}{3 x}$ e $3$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.10

$x^{7}$ e $\frac{1}{x}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.11

Elimina il fattore comune di $x^{7}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Scomponi $x$ da $x^{7}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.11.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.11.2.3

Elimina il fattore comune.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.11.2.4

Riscrivi l'espressione.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.3.11.2.5

Dividi $x^{6}$ per $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{6} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 576 (\ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $7$ per $576$ .

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 4032 (\ln (3 x) (x^{6}))$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $952 x^{6}$ e $576 x^{6}$ .

$1528 x^{6} + 4032 \ln (3 x) x^{6}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1528 x^{6}] + \frac{d}{d x} [4032 x^{6} \ln (3 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1528 x^{6}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [1528 x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $1528$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1528 x^{6}$ rispetto a $x$ è $1528 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 1528 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f'' (x) = 1528 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $1528$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4032 x^{6} \ln (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4032$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4032 x^{6} \ln (3 x)$ rispetto a $x$ è $4032 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (3 x)]$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 \frac{d}{d x} (x^{6} \ln (3 x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} \frac{d}{d x} (\ln (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.8

$\frac{1}{3 x}$ e $3$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{3}{3 x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{3}{3 x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.10

$x^{6}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.11

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.11.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.11.2.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.11.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.3.11.2.5

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{5} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 x^{5} + 4032 (\ln (3 x) (6 x^{5}))$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $6$ per $4032$ .

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 x^{5} + 24192 (\ln (3 x) (x^{5}))$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $9168 x^{5}$ e $4032 x^{5}$ .

$f'' (x) = 13200 x^{5} + 24192 \ln (3 x) x^{5}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 13200 x^{5} + 24192 x^{5} \ln (3 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [136 x^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $136$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $136 x^{7}$ rispetto a $x$ è $136 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$136 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$136 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $7$ per $136$ .

$952 x^{6} + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $576$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $576 x^{7} \ln (3 x)$ rispetto a $x$ è $576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$ .

$952 x^{6} + 576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 4.1.3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 4.1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 4.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Passaggio 4.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{1}{3 x}$ e $3$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.10

$x^{7}$ e $\frac{1}{x}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.11

Elimina il fattore comune di $x^{7}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.11.1

Scomponi $x$ da $x^{7}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.11.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.11.2.3

Elimina il fattore comune.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.11.2.4

Riscrivi l'espressione.

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.3.11.2.5

Dividi $x^{6}$ per $1$ .

$952 x^{6} + 576 (x^{6} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 576 (\ln (3 x) (7 x^{6}))$

Passaggio 4.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Moltiplica $7$ per $576$ .

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 4032 (\ln (3 x) (x^{6}))$

Passaggio 4.1.4.2.2

Somma $952 x^{6}$ e $576 x^{6}$ .

$1528 x^{6} + 4032 \ln (3 x) x^{6}$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$ .

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1528 x^{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$

Passaggio 5.3

Dividi per $4032 x^{6}$ ciascun termine in $4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4032 x^{6}$ ciascun termine in $4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$ .

$\frac{4032 x^{6} \ln (3 x)}{4032 x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4032$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4032 x^{6} \ln (3 x)}{4032 x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{6} \ln (3 x)}{x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{6} \ln (3 x)}{x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $\ln (3 x)$ per $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 1528$ e $4032$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $8$ da $- 1528 x^{6}$ .

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{4032 x^{6}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $8$ da $4032 x^{6}$ .

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{8 (504 x^{6})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{8 (504 x^{6})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (3 x) = \frac{- 191 x^{6}}{504 x^{6}}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (3 x) = \frac{- 191 x^{6}}{504 x^{6}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (3 x) = \frac{- 191}{504}$

Passaggio 5.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (3 x) = - \frac{191}{504}$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{191}{504}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (3 x) = - \frac{191}{504}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{191}{504}} = 3 x$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi l'equazione come $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ .

$3 x = e^{- \frac{191}{504}}$

Passaggio 5.6.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

Passaggio 5.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

Passaggio 5.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1

Sposta $e^{- \frac{191}{504}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (3 x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 x \leq 0$

Passaggio 6.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \leq 0$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x \leq 0$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$13200 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

$13200 \frac{1^{5}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 e^{\frac{191}{504}}$ .

$13200 \frac{1^{5}}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$13200 \frac{1}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$13200 \frac{1}{243 {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{191}{504} \cdot 5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.3.2.2

Moltiplica $\frac{191}{504} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.2.1

$\frac{191}{504}$ e $5$ .

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{191 \cdot 5}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.3.2.2.2

Moltiplica $191$ per $5$ .

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Scomponi $3$ da $13200$ .

$3 (4400) \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.4.2

Scomponi $3$ da $243 e^{\frac{955}{504}}$ .

$3 (4400) \frac{1}{3 (81 e^{\frac{955}{504}})} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 4400 \frac{1}{3 (81 e^{\frac{955}{504}})} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$4400 \frac{1}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.5

$4400$ e $\frac{1}{81 e^{\frac{955}{504}}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1^{5}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $3 e^{\frac{191}{504}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1^{5}}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.8.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{191}{504} \cdot 5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.8.2.2

Moltiplica $\frac{191}{504} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.2.2.1

$\frac{191}{504}$ e $5$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{191 \cdot 5}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.8.2.2.2

Moltiplica $191$ per $5$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.9

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Scomponi $27$ da $24192$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 (896) \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.9.2

Scomponi $27$ da $243 e^{\frac{955}{504}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 (896) \frac{1}{27 (9 e^{\frac{955}{504}})} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 \cdot 896 \frac{1}{27 (9 e^{\frac{955}{504}})} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 896 \frac{1}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.10

$896$ e $\frac{1}{9 e^{\frac{955}{504}}}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 9.1.11

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})$

Passaggio 9.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{191}{504}}})$

Passaggio 9.1.12

Sposta $e^{\frac{191}{504}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (e^{- \frac{191}{504}})$

Passaggio 9.1.13

Espandi $\ln (e^{- \frac{191}{504}})$ spostando $- \frac{191}{504}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504} \ln (e))$

Passaggio 9.1.14

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504} \cdot 1)$

Passaggio 9.1.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504})$

Passaggio 9.1.16

Elimina il fattore comune di $56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.16.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{191}{504}$ nel numeratore.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Passaggio 9.1.16.2

Scomponi $56$ da $896$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 (16)}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Passaggio 9.1.16.3

Scomponi $56$ da $504$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 \cdot 16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{56 \cdot 9}$

Passaggio 9.1.16.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 \cdot 16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{56 \cdot 9}$

Passaggio 9.1.16.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{9}$

Passaggio 9.1.17

Moltiplica $\frac{16}{9 e^{\frac{955}{504}}}$ per $\frac{- 191}{9}$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{16 \cdot - 191}{9 e^{\frac{955}{504}} \cdot 9}$

Passaggio 9.1.18

Moltiplica $16$ per $- 191$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{- 3056}{9 e^{\frac{955}{504}} \cdot 9}$

Passaggio 9.1.19

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{- 3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Passaggio 9.1.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} - \frac{3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4400 - 3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $3056$ da $4400$ .

$\frac{1344}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $3$ da $1344$ .

$\frac{3 (448)}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

Passaggio 9.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $3$ da $81 e^{\frac{955}{504}}$ .

$\frac{3 (448)}{3 (27 e^{\frac{955}{504}})}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 448}{3 (27 e^{\frac{955}{504}})}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{448}{27 e^{\frac{955}{504}}}$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1^{7}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 e^{\frac{191}{504}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1^{7}}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{504} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.2.2.1

Scomponi $7$ da $504$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 (72)} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 \cdot 72} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.4

$136$ e $\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1^{7}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $3 e^{\frac{191}{504}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1^{7}}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{191}{504}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{504} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.7.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.2.2.1

Scomponi $7$ da $504$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 (72)} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 \cdot 72} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.8

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.1

Scomponi $9$ da $576$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 (64) (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.8.2

Scomponi $9$ da $2187 e^{\frac{191}{72}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 (64) (\frac{1}{9 (243 e^{\frac{191}{72}})}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 \cdot (64 (\frac{1}{9 (243 e^{\frac{191}{72}})})) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 64 (\frac{1}{243 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.9

$64$ e $\frac{1}{243 e^{\frac{191}{72}}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.10

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.10.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

Passaggio 11.2.1.10.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{191}{504}}})$

Passaggio 11.2.1.11

Sposta $e^{\frac{191}{504}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (e^{- \frac{191}{504}})$

Passaggio 11.2.1.12

Espandi $\ln (e^{- \frac{191}{504}})$ spostando $- \frac{191}{504}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504} \cdot \ln (e))$

Passaggio 11.2.1.13

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504} \cdot 1)$

Passaggio 11.2.1.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504})$

Passaggio 11.2.1.15

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.15.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{191}{504}$ nel numeratore.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Passaggio 11.2.1.15.2

Scomponi $8$ da $64$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 (8)}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

Passaggio 11.2.1.15.3

Scomponi $8$ da $504$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot 8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{8 \cdot 63}$

Passaggio 11.2.1.15.4

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot 8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{8 \cdot 63}$

Passaggio 11.2.1.15.5

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{63}$

Passaggio 11.2.1.16

Moltiplica $\frac{8}{243 e^{\frac{191}{72}}}$ per $\frac{- 191}{63}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot - 191}{243 e^{\frac{191}{72}} \cdot 63}$

Passaggio 11.2.1.17

Moltiplica $8$ per $- 191$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{- 1528}{243 e^{\frac{191}{72}} \cdot 63}$

Passaggio 11.2.1.18

Moltiplica $63$ per $243$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{- 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.1.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $\frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15309 e^{\frac{191}{72}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ per $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7}{2187 e^{\frac{191}{72}} \cdot 7} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $7$ per $2187$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7}{15309 e^{\frac{191}{72}}} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7 - 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $136$ per $7$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{952 - 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $1528$ da $952$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{- 576}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.6

Scomponi $9$ da $- 576$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 (- 64)}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Scomponi $9$ da $15309 e^{\frac{191}{72}}$ .

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 (- 64)}{9 (1701 e^{\frac{191}{72}})}$

Passaggio 11.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 \cdot - 64}{9 (1701 e^{\frac{191}{72}})}$

Passaggio 11.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{- 64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 11.2.9

La risposta finale è $- \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$ .

$y = - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ .

$(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}, - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}})$ è un minimo locale

Passaggio 13