Calcolo Esempi

$f (x) = 18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$18 ((x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.8.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.12.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 1.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 1.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 1.15

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 1.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Somma $1$ e $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 1.16.2

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.2.1

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.2.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.2.3

Scomponi $3$ da $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.2.4.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.3

Riordina i termini.

$(x - 5) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.1

Moltiplica $x - 5$ per $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.4.2

Sposta $12$ alla sinistra di $x - 5$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.17.5

Per scrivere $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.7.1

Scomponi $6$ da $12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.7.1.1

Scomponi $6$ da $12 (x - 5)$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.1.2

Scomponi $6$ da $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.1.3

Scomponi $6$ da $6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 5) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.4

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.7.4.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.4.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.5

Semplifica $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.8

Somma $2 x$ e $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 10 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.17.7.9

Sottrai $3$ da $- 10$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 13}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 13}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x - 13$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 13) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 13) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 13) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 13$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 13$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + 0) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $5$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.3.7.2

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.8.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.9.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.9.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.13.3

$6$ e $\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.1

Scomponi $6$ da $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 6 (- 1 \cdot 5 x - - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.1.1

Scomponi $6$ da $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 (- 1 \cdot (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.1.2

Scomponi $6$ da $6 (- 1 \cdot 5 x - - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.1.3

Scomponi $6$ da $6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot 5 x - - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 1 \cdot (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 13$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.3

Moltiplica $- 5 x + 13$ per $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.4

Per scrivere $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.5

$5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.7

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8

Riscrivi $\frac{3 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.8.1

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.8.1.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.1.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.1.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.2

Semplifica $3 \cdot 5 {(x - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 (x - 1) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x + 15 \cdot - 1 - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.5

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x - 15 - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.6

Sottrai $5 x$ da $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 15 + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.7

Somma $- 15$ e $13$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.8

Scomponi $2$ da $10 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.8.8.1

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) - 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.8.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) + 2 (- 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.3.8.8.3

Scomponi $2$ da $2 (5 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x - 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.1

$6$ e $\frac{2 (5 x - 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (2 (5 x - 1))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12 (5 x - 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.3

Scomponi $3$ da $12 (5 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 1))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.4.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 1))}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 1))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.5

Riscrivi $\frac{\frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.6

Moltiplica $\frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.7

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 2.14.4.7.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 4.1.2

$18 ((x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.12.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 4.1.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 4.1.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 4.1.15

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Passaggio 4.1.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.1

Somma $1$ e $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.16.2

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.2.1

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.2.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.2.3

Scomponi $3$ da $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.2.4.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.3

Riordina i termini.

$(x - 5) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.4.1

Moltiplica $x - 5$ per $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.2

Sposta $12$ alla sinistra di $x - 5$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.17.5

Per scrivere $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.7.1

Scomponi $6$ da $12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.7.1.1

Scomponi $6$ da $12 (x - 5)$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.1.2

Scomponi $6$ da $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.1.3

Scomponi $6$ da $6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 5) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.4

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.7.4.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.4.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.5

Semplifica $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.8

Somma $2 x$ e $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 10 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.7.9

Sottrai $3$ da $- 10$ .

$f' (x) = \frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 (5 x - 13) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (5 x - 13) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 (5 x - 13) = 0$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 (5 x - 13)}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Dividi $5 x - 13$ per $1$ .

$5 x - 13 = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$5 x - 13 = 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $13$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 13$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 13$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 13$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{13}{5}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{13}{5}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{13}{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{6 (5 x - 13)}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{6 (5 x - 13)}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{6 (5 x - 13)}{\sqrt[3]{x - 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x - 1 = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{13}{5}, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{13}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (5 (\frac{13}{5}) - 1)}{{((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 (\frac{13}{5}) - 1)}{{(\frac{13}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (13 - 1)}{{(\frac{13}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $1$ da $13$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2.2

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13 - 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2.4.2

Sottrai $5$ da $13$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{8}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{8^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{2^{3 (\frac{4}{3})}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.2.6.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{2^{3 (\frac{4}{3})}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.2.6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{2^{4}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.2.6.4

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{16}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $4$ per $12$ .

$\frac{48}{\frac{16}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$48 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{16}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$16 (3) \frac{5^{\frac{4}{3}}}{16}$

Passaggio 9.5.2

Elimina il fattore comune.

$16 \cdot 3 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{16}$

Passaggio 9.5.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 5^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 10

$x = \frac{13}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{13}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{13}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{13}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{13}{5}) = 18 ((\frac{13}{5}) - 5) {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}) {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.2

$- 5$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}) {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13 - 5 \cdot 5}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13 - 25}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.4.2

Sottrai $25$ da $13$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{- 12}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{13}{5}) = 18 (- \frac{12}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $18 (- \frac{12}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$f (\frac{13}{5}) = - 18 (\frac{12}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.6.2

$- 18$ e $\frac{12}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = \frac{- 18 \cdot 12}{5} \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.6.3

Moltiplica $- 18$ per $12$ .

$f (\frac{13}{5}) = \frac{- 216}{5} \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.9

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13 - 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.11.2

Sottrai $5$ da $13$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{8}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.12

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.13.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.13.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.13.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.13.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.13.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{2^{2}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.13.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{4}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11.2.14

Moltiplica $- \frac{216}{5} \cdot \frac{4}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.14.1

Moltiplica $\frac{4}{5^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{216}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{4 \cdot 216}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Passaggio 11.2.14.2

Moltiplica $4$ per $216$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Passaggio 11.2.14.3

Moltiplica $5^{\frac{2}{3}}$ per $5$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.14.3.1

Moltiplica $5^{\frac{2}{3}}$ per $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.14.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Passaggio 11.2.14.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Passaggio 11.2.14.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Passaggio 11.2.14.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Passaggio 11.2.14.3.4

Somma $2$ e $3$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11.2.15

La risposta finale è $- \frac{864}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{864}{5^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{{((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{4}}$

Passaggio 13.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{13}{5}) \cup (\frac{13}{5}, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{6 (5 (0) - 13)}{{((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (0 - 13)}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.1.2

Sottrai $13$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.2.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 14.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 14.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{- 1}$

Passaggio 14.2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{- 1}$

Passaggio 14.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.1

Moltiplica $6$ per $- 13$ .

$f' (0) = \frac{- 78}{- 1}$

Passaggio 14.2.2.3.2

Dividi $- 78$ per $- 1$ .

$f' (0) = 78$

Passaggio 14.2.2.4

La risposta finale è $78$ .

$78$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(1, \frac{13}{5})$ nella derivata prima $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{6 (5 (2) - 13)}{{((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{6 (10 - 13)}{{(2 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.1.2

Sottrai $13$ da $10$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 3}{{(2 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 3}{1^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 3}{1}$

Passaggio 14.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$f' (2) = \frac{- 18}{1}$

Passaggio 14.3.2.3.2

Dividi $- 18$ per $1$ .

$f' (2) = - 18$

Passaggio 14.3.2.4

La risposta finale è $- 18$ .

$- 18$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(\frac{13}{5}, \infty)$ nella derivata prima $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{6 (5 (5) - 13)}{{((5) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f' (5) = \frac{6 (25 - 13)}{{(5 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.1.2

Sottrai $13$ da $25$ .

$f' (5) = \frac{6 \cdot 12}{{(5 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{6 \cdot 12}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.2.2

Moltiplica $6$ per $12$ .

$f' (5) = \frac{72}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.3

La risposta finale è $\frac{72}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{72}{4^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un massimo locale.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{13}{5}$ , allora $x = \frac{13}{5}$ è un minimo locale.

$x = \frac{13}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 1$ è un massimo locale

$x = \frac{13}{5}$ è un minimo locale

$x = 1$ è un massimo locale

$x = \frac{13}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 15