Calcolo Esempi

$f (x) = - 19 x^{4} - 114 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 19 x^{4} - 114 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 19 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 19 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 19 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 19 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 19 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 19 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 19 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 19$ .

$- 76 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 114$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 114 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 114 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 76 x^{3} - 114 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 76 x^{3} - 114 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 114$ .

$- 76 x^{3} - 228 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 76 x^{3} - 228 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 76 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 228 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 76 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 228 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 76 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 76$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 76 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 76 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 76 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 228 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 76 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 228 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 76$ .

$f'' (x) = - 228 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 228 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 228 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 228$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 228 x$ rispetto a $x$ è $- 228 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 228 x^{2} - 228 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 228 x^{2} - 228 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 228$ per $1$ .

$f'' (x) = - 228 x^{2} - 228$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 76 x^{3} - 228 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 19 x^{4} - 114 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 19 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 19 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 19 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 19 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 19 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 19 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 19 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 19$ .

$- 76 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 114 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 114$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 114 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 114 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 76 x^{3} - 114 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 76 x^{3} - 114 (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 114$ .

$f' (x) = - 76 x^{3} - 228 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 76 x^{3} - 228 x$ .

$- 76 x^{3} - 228 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 76 x^{3} - 228 x = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 76 x^{3} - 228 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 76 x$ da $- 76 x^{3} - 228 x$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 76 x$ da $- 76 x^{3}$ .

$- 76 x \cdot x^{2} - 228 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- 76 x$ da $- 228 x$ .

$- 76 x \cdot x^{2} - 76 x \cdot 3 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $- 76 x$ da $- 76 x (x^{2}) - 76 x (3)$ .

$- 76 x (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{2} + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 5.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Passaggio 5.5.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 76 x (x^{2} + 3) = 0$ vera.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 228 {(0)}^{2} - 228$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 228 \cdot 0 - 228$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 228$ per $0$ .

$0 - 228$

Passaggio 9.2

Sottrai $228$ da $0$ .

$- 228$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 19 {(0)}^{4} - 114 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 19 \cdot 0 - 114 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 19$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 114 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 114 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 114$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 19 x^{4} - 114 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

Passaggio 13