Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica ${(x + 4)}^{2}$ per $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $x + 4$ da $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $x + 4$ da $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.10.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.10.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.10.4

$2$ e $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.3

Scomponi $2$ da $- 2 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.3.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.5

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.7

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica ${(x + 4)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.5.2

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi ${(x + 4)}^{2}$ da ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.10.3

$- 2$ e $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.10.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.1.3

Moltiplica $2 (- 3 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.1.3.2

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.2

Sottrai $6 x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 8 + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.3.3

Somma $8$ e $24$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.4

Scomponi $4$ da $- 4 x + 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.4.2

Scomponi $4$ da $32$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 4 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.4.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.6

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.8

Riscrivi $- (x - 8)$ come $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 2.11.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Passaggio 2.11.11

Moltiplica $\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Passaggio 4.1.2

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica ${(x + 4)}^{2}$ per $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.2

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Scomponi $x + 4$ da $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Scomponi $x + 4$ da $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.10.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.10.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.10.4

$2$ e $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.3

Scomponi $2$ da $- 2 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.3.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.5

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.7

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.1.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 4) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 4) = 0$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Dividi $x - 4$ per $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{8^{4}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4096}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{- 16}{4096}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $4096$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$\frac{16 (- 1)}{4096}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $4096$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{256}$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{256}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{2 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (4) = \frac{8}{{(4 + 4)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $4$ e $4$ .

$f (4) = \frac{8}{8^{2}}$

Passaggio 11.2.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = \frac{8}{64}$

Passaggio 11.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$f (4) = \frac{8 (1)}{64}$

Passaggio 11.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.2.1

Scomponi $8$ da $64$ .

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Passaggio 11.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Passaggio 11.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ è un massimo locale

Passaggio 13