Calcolo Esempi

$f (x) = 2 e^{x} - 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 e^{x} - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2 e^{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 e^{x} - 2$ .

$2 e^{x} - 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 e^{x} - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{x} = 2$

Passaggio 5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$e^{x} = 1$

Passaggio 5.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 5.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 5.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1)$

Passaggio 5.6

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 e^{0}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 e^{0} - 2 \cdot 0$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = 2 - 2 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 2 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 e^{x} - 2 x$ .

$(0, 2)$ è un minimo locale

Passaggio 13