Calcolo Esempi

$f (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x^{2} - 6 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6 x$ .

$2 (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x^{2} - 6 x}$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} (2 x - 6) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 + 0) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} \cdot 2 + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2} - 6 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x)))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x)))$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x)))$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)))$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)))$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \cdot 1))$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6))$

Passaggio 2.6

Eleva $2 x - 6$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x})$

Passaggio 2.7

Eleva $2 x - 6$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x})$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + {(2 x - 6)}^{1 + 1} e^{x^{2} - 6 x})$

Passaggio 2.9

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + {(2 x - 6)}^{2} e^{x^{2} - 6 x})$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x}) + 2 ({(2 x - 6)}^{2} e^{x^{2} - 6 x})$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 6 x} + 2 {(2 x - 6)}^{2} e^{x^{2} - 6 x}$

Passaggio 2.10.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x} {(2 x - 6)}^{2} + 4 e^{x^{2} - 6 x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x^{2} - 6 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6 x$ .

$2 (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x^{2} - 6 x} = 0$

$2 x - 6 = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $e^{x^{2} - 6 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta $e^{x^{2} - 6 x}$ uguale a $0$ .

$e^{x^{2} - 6 x} = 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi $e^{x^{2} - 6 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x^{2} - 6 x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x^{2} - 6 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.4

Imposta $2 x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $2 x - 6$ uguale a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $2 x - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 6$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 6$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.3.1

Dividi $6$ per $2$ .

$x = 3$

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$ vera.

$x = 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 e^{9 - 6 \cdot 3} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$2 e^{9 - 18} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$2 e^{- 9} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{e^{9}} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.4

$2$ e $\frac{1}{e^{9}}$ .

$\frac{2}{e^{9}} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2}{e^{9}} {(6 - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.6

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{2}{e^{9}} \cdot 0^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{e^{9}} \cdot 0 + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $\frac{2}{e^{9}}$ per $0$ .

$0 + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$0 + 4 e^{9 - 6 \cdot 3}$

Passaggio 9.1.9.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$0 + 4 e^{9 - 18}$

Passaggio 9.1.10

Sottrai $18$ da $9$ .

$0 + 4 e^{- 9}$

Passaggio 9.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 4 \frac{1}{e^{9}}$

Passaggio 9.1.12

$4$ e $\frac{1}{e^{9}}$ .

$0 + \frac{4}{e^{9}}$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $\frac{4}{e^{9}}$ .

$\frac{4}{e^{9}}$

Passaggio 10

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 2 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 2 e^{9 - 6 \cdot 3}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f (3) = 2 e^{9 - 18}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (3) = 2 e^{- 9}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = 2 (\frac{1}{e^{9}})$

Passaggio 11.2.4

$2$ e $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f (3) = \frac{2}{e^{9}}$

Passaggio 11.2.5

La risposta finale è $\frac{2}{e^{9}}$ .

$y = \frac{2}{e^{9}}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x}$ .

$(3, \frac{2}{e^{9}})$ è un minimo locale

Passaggio 13