Calcolo Esempi

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Passaggio 1.1.3

$2$ e $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Passaggio 1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Passaggio 1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Passaggio 1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Passaggio 1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$2$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{2}{8}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x}{4} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Passaggio 4.1.1.3

$2$ e $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Passaggio 4.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Passaggio 4.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Passaggio 4.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Passaggio 4.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Passaggio 4.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

$2$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Passaggio 4.1.4.2

$\frac{2}{8}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Passaggio 4.1.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Passaggio 4.1.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{4}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x}{4}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{4} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 9

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi $0$ per $4$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 10.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 12