Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 6 e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 x^{2} - 6 e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - 6 e^{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 e^{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 6 e^{x}$ .

$3 x^{2} - 6 e^{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 6 e^{x} = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.90120103$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 0.90120103$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 0.90120103$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- 0.90120103) - 6 e^{- 0.90120103}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $6$ per $- 0.90120103$ .

$- 5.40720619 - 6 e^{- 0.90120103}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5.40720619 - 6 \frac{1}{e^{0.90120103}}$

Passaggio 9.1.3

$- 6$ e $\frac{1}{e^{0.90120103}}$ .

$- 5.40720619 + \frac{- 6}{e^{0.90120103}}$

Passaggio 9.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5.40720619 - \frac{6}{e^{0.90120103}}$

Passaggio 9.2

Sottrai $\frac{6}{e^{0.90120103}}$ da $- 5.40720619$ .

$- 7.84369608$

Passaggio 10

$x = - 0.90120103$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 0.90120103$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 0.90120103$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.90120103$ nell'espressione.

$f (- 0.90120103) = {(- 0.90120103)}^{3} - 6 e^{- 0.90120103}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $- 0.90120103$ alla potenza di $3$ .

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 - 6 e^{- 0.90120103}$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 - 6 \frac{1}{e^{0.90120103}}$

Passaggio 11.2.1.3

$- 6$ e $\frac{1}{e^{0.90120103}}$ .

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 + \frac{- 6}{e^{0.90120103}}$

Passaggio 11.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 - \frac{6}{e^{0.90120103}}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $\frac{6}{e^{0.90120103}}$ da $- 0.7319224$ .

$f (- 0.90120103) = - 3.1684123$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 3.1684123$ .

$y = - 3.1684123$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} - 6 e^{x}$ .

$(- 0.90120103, - 3.1684123)$ è un massimo locale

Passaggio 13