Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 x^{3} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ e $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $12 x^{2} + 2 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 x^{3} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{3} + x^{2}) - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (4 x + 1) - (4 x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(4 x + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(4 x + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(4 x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 1$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{4}, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1}{4}, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- \frac{1}{4})}^{2} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$12 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$12 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \frac{1}{4^{2}} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$12 (\frac{1}{16}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 (3) \frac{1}{16} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.6.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{1}{4}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.7

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{3}{4} + 2 (\frac{- 1}{4}) - 4$

Passaggio 9.1.8.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{3}{4} + 2 \frac{- 1}{2 (2)} - 4$

Passaggio 9.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} + 2 \frac{- 1}{2 \cdot 2} - 4$

Passaggio 9.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} + \frac{- 1}{2} - 4$

Passaggio 9.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 4$

Passaggio 9.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

Passaggio 9.2.3

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 9.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{3 - 2 - 16}{4}$

Passaggio 9.4.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1 - 16}{4}$

Passaggio 9.4.3

Sottrai $16$ da $1$ .

$\frac{- 15}{4}$

Passaggio 9.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{4}$

Passaggio 10

$x = - \frac{1}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = {(- \frac{1}{4})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{4})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = {(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 1 (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $\frac{1^{4}}{4^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1^{4}}{4^{4}} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4^{4}} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{4^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.9

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{64}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.10

Moltiplica $\frac{1}{3} (- \frac{1}{64})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{64}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{3 \cdot 64} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.10.2

Moltiplica $3$ per $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.11

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.11.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.13

Moltiplica $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 \frac{1}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.15

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.16.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 (- 1) (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.16.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.16.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.16.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 1 (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.17

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{8})$ come $- (\frac{1}{8})$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.18

Moltiplica $- (- \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.18.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + 1 (\frac{1}{4}) + 1$

Passaggio 11.2.1.18.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{256}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{256}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{192}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - (\frac{1}{192} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{192}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{96}{96}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - (\frac{1}{8} \cdot \frac{96}{96}) + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2.6

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{96}{96}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{1}{4} + 1$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{192}{192}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{192}{192} + 1$

Passaggio 11.2.2.8

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{192}{192}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + 1$

Passaggio 11.2.2.9

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{1}{1}$

Passaggio 11.2.2.10

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{768}{768}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{1}{1} \cdot \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.11

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{768}{768}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.12

Riordina i fattori di $256 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{3 \cdot 256} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.13

Moltiplica $3$ per $256$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.14

Riordina i fattori di $192 \cdot 4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{4 \cdot 192} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.15

Moltiplica $4$ per $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.16

Moltiplica $8$ per $96$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{768} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.2.17

Moltiplica $4$ per $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{768} + \frac{192}{768} + \frac{768}{768}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 4 - 96 + 192 + 768}{768}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 - 96 + 192 + 768}{768}$

Passaggio 11.2.4.2

Sottrai $96$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 97 + 192 + 768}{768}$

Passaggio 11.2.4.3

Somma $- 97$ e $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{95 + 768}{768}$

Passaggio 11.2.4.4

Somma $95$ e $768$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{863}{768}$

Passaggio 11.2.5

La risposta finale è $\frac{863}{768}$ .

$y = \frac{863}{768}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 1 + 2 (- 1) - 4$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + 2 (- 1) - 4$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$12 - 2 - 4$

Passaggio 13.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $2$ da $12$ .

$10 - 4$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $4$ da $10$ .

$6$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 - (- 1) + 1$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2.4

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 1 + 1$

Passaggio 15.2.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} + 1$

Passaggio 15.2.2.8

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Passaggio 15.2.2.9

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + 1$

Passaggio 15.2.2.10

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1}$

Passaggio 15.2.2.11

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 15.2.2.12

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{3 - 1 - 2 \cdot 3 + 3 + 3}{3}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 1 - 6 + 3 + 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 6 + 3 + 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 3 + 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.4

Somma $- 4$ e $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Passaggio 15.2.4.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3}$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} + 2 (1) - 4$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 + 2 (1) - 4$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + 2 (1) - 4$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$12 + 2 - 4$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Somma $12$ e $2$ .

$14 - 4$

Passaggio 17.2.2

Sottrai $4$ da $14$ .

$10$

Passaggio 18

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Passaggio 19.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Passaggio 19.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - (1) + 1$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 - (1) + 1$

Passaggio 19.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2.4

Scrivi $- 2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} - 1 + 1$

Passaggio 19.2.2.7

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} + 1$

Passaggio 19.2.2.8

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Passaggio 19.2.2.9

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 1$

Passaggio 19.2.2.10

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Passaggio 19.2.2.11

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 19.2.2.12

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Passaggio 19.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{3 + 1 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 3}{3}$

Passaggio 19.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (1) = \frac{3 + 1 - 6 - 1 \cdot 3 + 3}{3}$

Passaggio 19.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (1) = \frac{3 + 1 - 6 - 3 + 3}{3}$

Passaggio 19.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.1

Somma $3$ e $1$ .

$f (1) = \frac{4 - 6 - 3 + 3}{3}$

Passaggio 19.2.5.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$f (1) = \frac{- 2 - 3 + 3}{3}$

Passaggio 19.2.5.3

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f (1) = \frac{- 5 + 3}{3}$

Passaggio 19.2.5.4

Somma $- 5$ e $3$ .

$f (1) = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 19.2.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{2}{3}$

Passaggio 19.2.6

La risposta finale è $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{863}{768})$ è un massimo locale

$(- 1, \frac{2}{3})$ è un minimo locale

$(1, - \frac{2}{3})$ è un minimo locale

Passaggio 21