Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - a x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - a x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- a x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- a x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a x$ rispetto a $x$ è $- a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - a \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - a \cdot 1$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 x^{2} - a$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- a)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- a)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- a)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- a)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - a = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - a x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- a x]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- a x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a x$ rispetto a $x$ è $- a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - a \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - a \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - a$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - a$ .

$3 x^{2} - a$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - a = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - a = 0$

Passaggio 5.2

Somma $a$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = a$

Passaggio 5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = a$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = a$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{a}{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{a}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{a}{3}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{a}{3}}$ come $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 5.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.5.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{a} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.5.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{a \cdot 3}}{3}$

Passaggio 5.5.5

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{a \cdot 3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt{3 a}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (\frac{\sqrt{3 a}}{3})$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{\sqrt{3 a}}{3}$

Passaggio 9.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3 a}$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11