Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $12 x^{2} - 18 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 5.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Passaggio 5.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$4 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 1 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.5

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$4 - 9 + 6 \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.6

Sottrai $9$ da $4$ .

$- 5 + 6 \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.8

Somma $- 5$ e $6$ .

$1 - 1$

Passaggio 5.2.1.3.9

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 5.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1}{x - 1}$

Passaggio 5.2.1.5

Dividi $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$1$

Passaggio 5.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Passaggio 5.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 5.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 5.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Passaggio 5.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 5.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 5.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 5.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{2} + 5 x$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 5.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$

Passaggio 5.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 5.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 5.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$4 x^{2} - 5 x + 1$

Passaggio 5.2.1.6

Scrivi $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $- 1$ più $- 4$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 4) x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (x (4 x - 1) - (4 x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 1$ .

$(x - 1) ((4 x - 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.5

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $4 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1 + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 18 \cdot 1 + 6$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 18 \cdot 1 + 6$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$12 - 18 + 6$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $18$ da $12$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{4})$ nella derivata prima $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 6 (0) - 1$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 6 (0) - 1$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 {(0)}^{2} + 6 (0) - 1$

Passaggio 10.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 \cdot 0 + 6 (0) - 1$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 6 (0) - 1$

Passaggio 10.2.2.1.5

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 1$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 1$

Passaggio 10.2.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Passaggio 10.2.2.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = - 1$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.62$ , dell'intervallo $(\frac{1}{4}, 1)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.62$ nell'espressione.

$f' (0.62) = 4 {(0.62)}^{3} - 9 {(0.62)}^{2} + 6 (0.62) - 1$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $0.62$ alla potenza di $3$ .

$f' (0.62) = 4 \cdot 0.238328 - 9 {(0.62)}^{2} + 6 (0.62) - 1$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0.238328$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 9 {(0.62)}^{2} + 6 (0.62) - 1$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $0.62$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 9 \cdot 0.3844 + 6 (0.62) - 1$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $0.3844$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 3.4596 + 6 (0.62) - 1$

Passaggio 10.3.2.1.5

Moltiplica $6$ per $0.62$ .

$f' (0.62) = 0.953312 - 3.4596 + 3.72 - 1$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Sottrai $3.4596$ da $0.953312$ .

$f' (0.62) = - 2.506288 + 3.72 - 1$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $- 2.506288$ e $3.72$ .

$f' (0.62) = 1.213712 - 1$

Passaggio 10.3.2.2.3

Sottrai $1$ da $1.213712$ .

$f' (0.62) = 0.213712$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $0.213712$ .

$0.213712$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 256 - 9 {(4)}^{2} + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 256 - 9 \cdot 16 + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $16$ .

$f' (4) = 256 - 144 + 6 (4) - 1$

Passaggio 10.4.2.1.5

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (4) = 256 - 144 + 24 - 1$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Sottrai $144$ da $256$ .

$f' (4) = 112 + 24 - 1$

Passaggio 10.4.2.2.2

Somma $112$ e $24$ .

$f' (4) = 136 - 1$

Passaggio 10.4.2.2.3

Sottrai $1$ da $136$ .

$f' (4) = 135$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $135$ .

$135$

Passaggio 10.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{1}{4}$ , allora $x = \frac{1}{4}$ è un minimo locale.

$x = \frac{1}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 10.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 1$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ .

$x = \frac{1}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11