Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{7}{4}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $4$ da $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.7

$\frac{7}{4}$ e $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.8

$5$ e $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $7$ per $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 70$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 70 x$ rispetto a $x$ è $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 70$ per $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ e $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{35}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.8

$\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $\frac{35}{4}$ per $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $3$ per $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.2.12

Sposta $x^{- \frac{1}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 70$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 70$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{7}{4}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sottrai $4$ da $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.7

$\frac{7}{4}$ e $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.8

$5$ e $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $7$ per $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 70$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 70 x$ rispetto a $x$ è $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 70$ per $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $70$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

Passaggio 5.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Passaggio 5.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Combina.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Passaggio 5.4.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Passaggio 5.4.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Passaggio 5.4.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Passaggio 5.4.1.1.5

Dividi $x^{\frac{3}{4}}$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1.1

Scomponi $35$ da $70$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

Passaggio 5.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

Passaggio 5.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

Passaggio 5.5

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{4}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.1.1.2

Semplifica.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica $8^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 5.6.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Passaggio 5.6.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2^{4}$

Passaggio 5.6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$x = 16$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

Passaggio 6.2

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 6.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 16$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 16$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $16$ per ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $16$ per ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

Passaggio 9.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

Passaggio 9.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

Passaggio 9.1.4

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 9.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Passaggio 9.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{105}{2^{5}}$

Passaggio 9.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{105}{32}$

Passaggio 10

$x = 16$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 16$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $16$ nell'espressione.

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $5$ per $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 70$ per $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $1120$ da $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 480$ e $15$ .

$f (16) = - 465$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 465$ .

$y = - 465$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ è un minimo locale

Passaggio 13