Calcolo Esempi

$f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Passaggio 1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Passaggio 1.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 {(x + 2)}^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.6

Somma $1$ e $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.6.8

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Passaggio 1.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Passaggio 1.8.2.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Passaggio 1.8.2.3

Somma $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ e $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 {(x + 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $60 {(x + 2)}^{2} - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Passaggio 4.1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Passaggio 4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Passaggio 4.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Passaggio 4.1.4

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 {(x + 2)}^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.6

Somma $1$ e $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.5.8

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.6.8

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Passaggio 4.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Passaggio 4.1.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Passaggio 4.1.8.2.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Passaggio 4.1.8.2.3

Somma $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $4$ da $20 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.2

Usa il teorema binomiale.

$4 (5 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 (5 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $6$ per $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.5.2

Moltiplica $12$ per $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.5.3

Moltiplica $5$ per $8$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 40 - x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.6

Sottrai $x$ da $60 x$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 40 - 2) = 0$

Passaggio 5.2.7

Sottrai $2$ da $40$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38) = 0$

Passaggio 5.2.8

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 38, \pm 2, \pm 19$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 5.2.8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 38, \pm 7.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 19, \pm 3.8$

Passaggio 5.2.8.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

$5 {(- 2)}^{3} + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$5 \cdot - 8 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 8$ .

$- 40 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 40 + 30 \cdot 4 + 59 \cdot - 2 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.5

Moltiplica $30$ per $4$ .

$- 40 + 120 + 59 \cdot - 2 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.6

Somma $- 40$ e $120$ .

$80 + 59 \cdot - 2 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.7

Moltiplica $59$ per $- 2$ .

$80 - 118 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.8

Sottrai $118$ da $80$ .

$- 38 + 38$

Passaggio 5.2.8.1.3.9

Somma $- 38$ e $38$ .

$0$

Passaggio 5.2.8.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38}{x + 2}$

Passaggio 5.2.8.1.5

Dividi $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$5 x^{3}$

$30 x^{2}$

$59 x$

$38$

Passaggio 5.2.8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$

Passaggio 5.2.8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			+	$5 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Passaggio 5.2.8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} + 10 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Passaggio 5.2.8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$

Passaggio 5.2.8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Passaggio 5.2.8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $20 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Passaggio 5.2.8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$40 x$

Passaggio 5.2.8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $20 x^{2} + 40 x$

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$

Passaggio 5.2.8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$

Passaggio 5.2.8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Passaggio 5.2.8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $19 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Passaggio 5.2.8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							+	$19 x$	+	$38$

Passaggio 5.2.8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $19 x + 38$

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$

Passaggio 5.2.8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$
										$0$

Passaggio 5.2.8.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$5 x^{2} + 20 x + 19$

Passaggio 5.2.8.1.6

Scrivi $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ come insieme di fattori.

$4 ((x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19)) = 0$

Passaggio 5.2.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.5

Imposta $5 x^{2} + 20 x + 19$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $5 x^{2} + 20 x + 19$ uguale a $0$ .

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 5$ , $b = 20$ e $c = 19$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 19)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.1.3

Sottrai $380$ da $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Passaggio 5.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.1.3

Sottrai $380$ da $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Passaggio 5.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 10 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.4.5

Riscrivi $- 10$ come $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - 1 (- \sqrt{5})}{5}$

Passaggio 5.5.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (10) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 - \sqrt{5})}{5}$

Passaggio 5.5.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.1.3

Sottrai $380$ da $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 5.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Passaggio 5.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 10 - \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.5.5

Riscrivi $- 10$ come $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - (\sqrt{5})}{5}$

Passaggio 5.5.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (10) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 + \sqrt{5})}{5}$

Passaggio 5.5.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$ vera.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {((- 2) + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$60 \cdot 0^{2} - 4$

Passaggio 9.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$60 \cdot 0 - 4$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $60$ per $0$ .

$0 - 4$

Passaggio 9.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 10

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 5 {((- 2) + 2)}^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 11.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 11.2.1.4

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0^{2} + 8$

Passaggio 11.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0 + 8$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (- 2) = 0 + 0 + 8$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (- 2) = 0 + 8$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $8$ .

$f (- 2) = 8$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.2

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$60 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4.3

Moltiplica $- - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$60 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4.3.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4.5

Somma $- 10$ e $10$ .

$60 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.4.6

Somma $0$ e $\sqrt{5}$ .

$60 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 13.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.6.5

Calcola l'esponente.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Passaggio 13.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Passaggio 13.1.8

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Scomponi $5$ da $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Passaggio 13.1.8.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Passaggio 13.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Passaggio 13.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Passaggio 13.1.9

$12$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $12$ per $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Passaggio 13.1.11

Dividi $60$ per $5$ .

$12 - 4$

Passaggio 13.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$

Passaggio 14

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.2

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4.3

Moltiplica $- - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4.3.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4.5

Somma $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.4.6

Somma $0$ e $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.6.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.8

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Scomponi $5$ da $625$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.9

Elimina il fattore comune di $25$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.2.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.10

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.11

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13.3

Moltiplica $- - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13.3.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13.5

Somma $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.13.6

Somma $0$ e $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 15.2.1.14

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.15

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.15.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.15.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.15.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.15.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Passaggio 15.2.1.16

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Passaggio 15.2.1.17

Elimina il fattore comune di $5$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Passaggio 15.2.1.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Passaggio 15.2.1.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Passaggio 15.2.1.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Passaggio 15.2.1.18

$- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Passaggio 15.2.1.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Passaggio 15.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Passaggio 15.2.3

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 15.2.4

$8$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 15.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Passaggio 15.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.6.1

Moltiplica $8$ per $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Passaggio 15.2.6.2

Sottrai $1$ da $40$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$60 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.2

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$60 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.4.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.4.4

Somma $- 10$ e $10$ .

$60 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.4.5

Sottrai $\sqrt{5}$ da $0$ .

$60 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$60 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Passaggio 17.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) - 4$

Passaggio 17.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Passaggio 17.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$60 (1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Passaggio 17.1.8

Moltiplica $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ per $1$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.9

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.9.5

Calcola l'esponente.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Passaggio 17.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Passaggio 17.1.11

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.11.1

Scomponi $5$ da $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Passaggio 17.1.11.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Passaggio 17.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Passaggio 17.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Passaggio 17.1.12

$12$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Passaggio 17.1.13

Moltiplica $12$ per $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Passaggio 17.1.14

Dividi $60$ per $5$ .

$12 - 4$

Passaggio 17.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$

Passaggio 18

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.2

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.4.4

Somma $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.4.5

Sottrai $\sqrt{5}$ da $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.8

Moltiplica $\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.9.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.9.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.9.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.9.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.11

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.11.1

Scomponi $5$ da $625$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.12

Elimina il fattore comune di $25$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.12.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.12.2.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.13

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.14

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.16.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.16.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.16.4

Somma $- 10$ e $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.16.5

Sottrai $\sqrt{5}$ da $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Passaggio 19.2.1.18

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.18.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) + 8$

Passaggio 19.2.1.18.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Passaggio 19.2.1.19

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Passaggio 19.2.1.20

Moltiplica $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.21

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.21.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.21.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.21.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.21.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.21.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.21.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.21.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Passaggio 19.2.1.22

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Passaggio 19.2.1.23

Elimina il fattore comune di $5$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.23.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Passaggio 19.2.1.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.23.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Passaggio 19.2.1.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Passaggio 19.2.1.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Passaggio 19.2.1.24

$- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Passaggio 19.2.1.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Passaggio 19.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 19.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Passaggio 19.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 19.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Passaggio 19.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Passaggio 19.2.3

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 19.2.4

$8$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 19.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Passaggio 19.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 19.2.6.1

Moltiplica $8$ per $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Passaggio 19.2.6.2

Sottrai $1$ da $40$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Passaggio 19.2.7

La risposta finale è $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ .

$(- 2, 8)$ è un massimo locale

$(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ è un minimo locale

$(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ è un minimo locale

Passaggio 21